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situé sur le cercle de convergence de rayon |a',i|. et supposons qu'en ce 

 point la fonction peut se mettre sous la forme 



\,P,/\os ^\ A,l>,/'loy ' \ 



■■("^) 



(>) ./■(-)=-- -. +•••+ -, —+M-r), 



où k est un nombre entier, /,(-'X') une fonction holomorphe ou, plus géné- 

 ralement, d'ordre négatif au point envisagé, et où les P,(-) sont des poly- 

 nômes en z- de degré quelconijue. Soit enfin </ le degré du polynôme Pa(s) 

 et soit l'unité le coefficient du terme de degré y. 



Cela posé, si lim -^ = o, on a 



II' 



.ç '■ r(/--/. + i) 



liin —jrj =: — ^^ 



A/.. 



où s)[ '' esl la (r — X')"'""' riwye/me anlhmctique des s,^{.i\^ ). 



Les moyennes arithmétiques permettent donc de calculer successivement 

 les constantes numériques qui caractérisent complètement la singularité. 



2. Dans le cas général où l'on ne fait aucune restriction aux coefficients, 

 c'est la sommation exponentielle de M. Borel qui nous rend possible d'exa- 

 miner la singularité de la fonction dans ses points critiques logarithmiques 

 situés sur le polygone de sommabilité (sommets exclus). 



En effet, si la fonction peut s'écrire sous la forme (i), le point .r„ étant situé 

 sur le polygone de sommabilité, on peut affinner que 



, , ,. n=n ■ A/, 



( 2 ) Il m -r-t = TT' 



^ ' „ = « p"a'''log'/rt /.•! 



où 



On voit que la somme exponentielle permet d'examiner dune manière 

 complète les singularités logarithmiques. Ces deux théorèmes correspondent 

 aux théorèmes analogues de M. Paul Dienes ( ' ). 



)}. L'équation (2) est une relation absolument générale entre les coefli- 



(') Paul Diii:(ES, Sur les singularités des fonctions annly tiquas {Comptes rendus, 

 1 décembre 1908). 



