SÉANCE DU 26 AVRIL 1909. luS j 



cients et les singularités logarithmiques situées sur le polygone de somma- 

 liililé. Pour atteindre les points singuliers situés en dehors de ce polygone, 

 nous nous servirons de la représentation des fonctions analytiques par une 

 suite de fonctions entières due à M. Mittag-Lefller. En particulier, nous 

 choisirons, à cause de son analogie complète avec la sommation exponen- 

 tielle, la représentation à l'aide d'une fonction entière sommatrice donnée 

 par M. Mittag-Leffler dans sa Note V (Actamath., t. XXIX). 

 Soit comme fonction sommatrice la fonction entière 



E3 ( rt ) 



-V 



ol;( Il -h ^ ) ] 



(;j>i). 



étudiée par M. Lindelof. Ceci posé, nous avons le théorème général : 



Si la fonction considérée /(x), au point x„ situé à l'origine d'une demi<- 

 droite exclue de l'étoile, peut se mettre sous la forme (i), on a 



Jog(.// + 3) 



V/. 



( ' ) ,!L"l "^" V.^(av.'-" Ma ^ /. ! ' 



où 



La relation (3) peut s'écrire 



,- IV«(-2-'o) ^1.- 



où lim ¥„{x^ ) est la suite des valeurs prises en x„ par les fonctions entières 



qui s'approchent indéfiniment de /( -r) sur l'étoile; et sous cette forme elle 

 nous montre que la suite 



lim F„(j-„) 



Il z= X 



permet de caractériser complètement la singularité en question. Ce th(''o- 

 rème est donc une solution partielle du problème posé par M. P. Dienes. 



4. Les mêmes considérations s'appliquent au cas où le point singulier 

 envisagé est un point critique à la fois algébrique et logarithmique. En elVel, 

 supposons que, plus généralement, la fonction puisse s'écrire 





/(.O-A- _^+/,{.r) 



