1092 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



.le me propose d'établir, plus généralement, que : 



Toute surface du quatrième degré sur laquelle sont tracées seize droites isolées 

 et une autre droite qui en rencontre div est une surface hyperelliplique . 



\\n elï'el, la surface est régulière et a tous ses plurigenres égaux à runilé. 

 <)n eu déduit que le système linéaire complet, défini par une courbe de 

 genre virtuel/;, est de degré ip — 2 et de dimension p. 



Désignons par a,, a^, ...,«,,., les seize droites isolées et supposous que les 

 liix premières soient celles que rencontre la droite donnée 11. 



Les sections faites par les plans qui passent par la droite R consliluenl 

 un faisceau de cubiques elliptiques, dont cbacune rencontre les droites 

 l'i I , , . . . , (' 10 • 



Je considère maintenant le système linéaire complet : 



|r| = |o.|{-;-r/,+...-4-nr,„|. 



Son degré est douze, et ses genre et dimension, sept. 

 Je désigne par K une cubique du faisceau et je considère le système 

 linéaire complet : 



|r'|-- |2K + r/,,^. . .4-r/,„ |. 



Les systèmes |r| et |r'| coïncident, car les courbes d'un des deux sys- 

 tèmes découpent, sur une courbe de l'autre système, des groupes de la 

 série caractéristique. 



Les seize droites «,, . . . , «,,, sont fondamentales pour |r|. 



Dans un espace à sept dimensions je considère la surface V (pii a pour 

 sections hyperplanes des courbes du système |r|. 



F' est donc d'ordre douze et le genre de ses sections hyperplanes est sept; 

 c!le a seize points doubles isolés, A,, images des seize droites (/,-. 



La droite R a pour image une courbe li , d'ordre six, qui passe avec une 

 biMnche par les dix points doubles A , , . . . , A ,„ ; c'est une courbe de contact 

 de la surface avec un byperplau. De même, la cubique Iv a pour image une 

 courix' iV|, d'ordre six, qui passe avec unebranchepar les six j)oints doubles 

 A,,, ..., A,,., et est aussi courbe de contact de la surface avec un hyper- 

 plan. 



Or, en suivant une Idée de MiM. Knriques et, Severi ( '), j'ai démontré, 



(') ICnkiques el Seveki, Intorno a/le superficie iperellitticlic (Rendicoitli deli Ace. 

 c/ei Lincei, anno 1907). 



Voir aussi G. l>A(;iNr;itv el de Franchis, Le su/ierjîcie alyebriclie le rjuali aminctlono 

 tina rappiesenlazioHc paramelrica mediante funziorii iperellittiche di due arifo- 

 inenti {Société italiaim detle Scicnze. série 3", loino X\ ). 



