SÉANCE DU 3 MAI 1909. II 53 



Dans ces conditions, je dirai que K, est de dimension supérieure ou égale 

 à celle de Ej et j'écrirai dK, ^dE^, s'il est possible d'établir entre une pro- 

 jection de Ej sur E, ou sur une partie K de E,, c'est-à-dire une correspon- 

 dance biunivoque de E, et de K telle que si une suite d'éléments de E, con- 

 verge vers un élément de E,, la suite correspondante d'éléments de Iv 

 converge vers l'élément correspondant de K el réciproquement ( ' ). 



Si dE, ^dEo et si dEo^dE,, nous dirons que E, et E., ont même dimen- 

 sion : dE, = dE.,. Si dE, ^dE.2 et si l'on n'a pas dE-^^dE,, c'est-à-dire si E, 

 ne peut être projeté sur aucune partie de E^, nous dirons que E, est de 

 dimension supérieure à E^ et nous écrirons dE, "^dE.,. 



On peut aussi définir la somme des dimensions de deux ensembles E, , 

 Eo. Ce sera l'a dimension d'un ensemble [fE,, E^]] dont chaque élément est 

 un couple (A, B) d'éléments, l'un A de E,, l'autre B de Eo, et où une suite 

 d'éléments (A„, B„) converge vers (A, B), si A„ converge vers A en même 

 temps que B„ converge vers B. On voit immédiatement qu'on a 



(t/E, -+- (/E. _ (/E, et f/E, 4- f/Ej^ rfE,. 



L'origine et la justification de nos définitions réside dans un théorème de 

 M. Baire qui permet d'aflirmer, en le traduisant au moyen des définitions 

 actuelles, que l'espace géométrique R„+.^ à n -h /> coordonnées est de dimen- 

 sion supérieure (et non pas égale ) à l'espace géométrique R^, à p coor- 

 données. On voit d'ailleurs immédiatement que si l'on prend la dimension 

 du continu linéaire pour unité, notre définition de la somme conduira à 

 dire, conformément aux dénominations habituelles, que l'espace R^ est à 

 p dimensions. 



Si nos définitions ne s'appliquaient qu'à ces espaces R^, elles ne servi- 

 raient qu'à augmenter le vocabulaire mathématique. Je crois qu'elles 

 peuvent, cependant, contribuer à dégager une notion nouvelle, si on les 

 applique systématiquement. 



Il est d'abord évident que la notion de dimension n'a pas d'intérêt pour 

 des ensembles isolés. 



Si l'on néglige ceux-ci, il est facile de voir que les ensembles ayant le 

 type de dimension le plus petit sont ceux qui sont uniquement constitués 

 chacun par une suite dénombrable convergeant vers l'un de ses éléments. 

 A partir de là, il est facile de former une première échelle de types de 

 dimension de plus en plus grands, ces types tous distincts en infinité non 



( ' ) On voit facilemenl par exemple ([ue t/E, - dE., el clE,^. (/E^ entraînent dE,'- d^E,. 



