Il 54 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



dénombrable et tous inférieurs à i. Parmi eux se place le type de dimen- 

 sion de la classe que M. Baire a appelé espace à zéro dimension. On peut le 

 définir simplement comme la dimension de Tensemblc G des nombres irra- 

 tionnels. Dans notre terminologie, il y aurait une infinité de types de dimen- 

 sions inférieurs à («. Mais le type de dimension de G jouit encore d'une pro- 

 priété remarquable en ce sens que c'est le plus grand des types <^ i . D'ailleurs, 

 on peut poursuivre; non seulement on trouve ensuite les types de dimen- 

 sions des espaces 11,, R^, ..., R„, ...à I, 2, ..., /<, ... coordonnées, mais 

 on peut intercaler entre ceux-ci d'autres types de dimensions. 



Enfin ( et c'est là surtout que ces nouvelles notions pourront se montrer 

 utiles), on trouve encore parmi les classes qui font l'objet du calcul fonc- 

 tionnel de nouveaux types de dimensions supérieurs à tout nombre fini, par 

 exemple la classe des fonctions continues ou l'espace à une infinité de coor- 

 données dont M. Hilbert a signalé récemment l'importance pratique. 



On peut en particulier définir un type de dimension supérieur à ceux de 

 toutes les classes que j'ai appelées dans ma Tbèse classes (Y.) normales, classes 

 qui renferment entre autres la classe des fonctions continues, l'espace à une 

 infinité de coordonnées ( soit avec la définition de la limite adoptée dans ma 

 Tbèse, soit avec celle de M. Hilbert), etc. Je développerai procbainemeni 

 ailleurs toutes ces considérations, qui sont peut-être intéressantes dans la 

 théorie des ensembles, mais qui sont essentielles dans le Calcul fonctionnel. 



ANALYSE .MATIIÉMATIQUK. — Sur les fonctions analytiques uniformes qui 

 restent continues sur un ensemble parfait discontinu de singularités. Note 

 de VI. Arnaud Denjoy, présentée par M. Painlevé. 



(Jn a très longtemps considéré comme vraisemblable le théorème sui- 

 vant : Une fonction uniforme < fui possède des points singuliers formant un 

 ensemble discontinu ne peut rester continue dans ce domaine. Plusieurs 

 démonstrations, dont aucune cependant n'échappait à des objections 

 diverses, furent tentées. Mêlant demandé si les difficultés rencontrées et 

 non surmontées ne tenaient pas à l'inexactitude du théorème, j'ai été con- 

 duit à construire des fonctions ipii le mettent effectivement en défaut. Mais 

 j'ai constaté récemment que Texcnq^le le plus simple avait été cité par 

 M. Pompéiu (Thèse, Paris, 3i mars 190J). Toutefois, comme la fonction 

 de M. Pompéiu a été considérée souvent comme non concluante, notam- 

 ment parce qu'elle pourrait être identiquement nulle, il ne me parait pas 



