SÉANCE DU 3 MAI 1909. II 55 



inutile d'indiquer en quoi celle fonction est un exemple probant, ce que 

 M. Pompéiu a négligé de faire. 



Soit E l'ensemble des points a-l-/(î, cliacuii des noinbies réels a et [3 prenant des 

 valeurs formant deux ensembles parfaits discontinus e et é . On montre aisément que 

 Taire de E est égale au produit des longueurs des projections e et e' de E sur les axes. 

 Il est possible de construire l'ensemble e des points o. de façon que la longueur de la 

 partie de e intérieure à un intervalle ayant pour milieu un quelconque de ses points ne 

 soit pas nulle. Soit f<„ le terme général d'une série à termes positifs dont la somme 

 est X. Il est possible de placer sur un segment de longueur />À des segments égaux 

 aux nombres de la suite u„ et qui soient les intervalles contigus d'un ensemble parfait 

 discontinu dont la longueur ne soit nulle dans aucun intervalle contenant une infinité 

 de ses points. (Pour la construction, on commence par fixer l'ordre mutuel des u„ eu 

 les faisant correspondre aux points d'un ensemble dénombrable dense). Si cet ensemble 

 est pris pour e, si é est construit d'une façon analogue, l'aire de E ne sera nulle à 

 l'intérieur d'aucun cercle ayant pour centre un point de E. 



Cela étant, soit 





; = ç -I- ifi, c/S =; di d/]. 



l'intégrale double étant étendue au sens de M. Lebesgue aux points z de 

 l'ensemble E. 



i" En chaque point x du plan l'intégrale nous donne une valeur finie, 

 unique pour F (a;) ; 2" Dans un domaine fermé auquel tous les f)oints de E 

 sont extérieurs, F(cc) est une fonction analytique holomorphe, ayant pour 



dérivée en chaque point / / _ • 



'3" Deux points quelconques x et x' n'appartenant pas à l'enseuible pou- 

 vant être placés à l'intérieur d'un domaine de l'espèce précédente, la 

 fonction F(a;) est dans tout le plan (les points de E exceptés) une même 

 fonction analytique uniforme. 



4° On a, quels que soient x et x' , 



|F(,r)-F(a'')|</.-|.f — .r'|L 



^ étant une constante indépendante de x et de x'. Donc, F(x) considérée 

 comme une fonction de deux variables l' et y]' (x = 1' -h it]') est continue 

 dans tout le plan. 



5° Quand .r croît indéfiniment, — xF(x) tend vers / / rfS qui est l'aire 

 (non nulle) de E. Donc, F(>r; n'est pas identiquement nulle. 



