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6° F(a?) n'est pas holomorphedans tout le plan. Sinon, étant nulle à Tin- 

 fini, elle serait partout nulle. Elle possède donc au moins un point sin- 

 gulier qui est certainement sur E, puisque F(x) est holomorphe hors de E. 



7" Tous les points de E sont singuliers. Car ils sont limites de points sin- 

 guliers. En effet, soit M un point de E. A l'intérieur de tout cercle V ayant 

 pour centre M, je peux trouver un contour y auquel M est intérieur et ne 

 passant par aucun point de E (discontinuité de E). La partie E, de E inté- 

 rieure à Y n'a pas une aire nulle. Soit 



E = E,-f-E,. 

 On a 



F.j(x) est holomorphe dans y puisque E., n'y a pas de points, F, pour les 

 raisons indiquées n'est pas identiquement nul dans tout le plan et possède 

 certainement un point singulier sur E,. Donc, F = F, -t- F^ possède un 

 point singulier sur E, donc dans T. Donc, tous lespoints M de E sont limites 

 de points singuliers. Ils sont donc tous singuliers. 



En résumé, la fonction uniforme F'(ac) est holomorphe en dehors d'un 

 ensemble parfait partout discontinu de points singuliers, et elle est continue 

 dans tout le plan. 



Observations au sujet de la Communication précédente, par M. Paixlevé. 



L'exemple de la Note précédente offre un type extrêmement remarquable 

 de singularités des fonctions analytiques. On sait qu'une des découvertes les 

 plus surprenantes de G. Cantor, c'est l'existence à' ensembles parfaits partout 

 discontinus (ensembles qui renferment tous leurs points-limites, dont au- 

 cun point n'est isolé, et qui pourtant ne sont denses nulle part, c'est-à-dire 

 ne forment nulle part ni lignes ni aires). M. H. Poincaré montrait bientôt 

 que certaines fonctions fuchsiennes (celles dont le cercle fondamental n'est 

 pas une coupure) présentent précisément un tel ensemble de points singu- 

 liers. Au voisinage d'un de ces points, la fonction fuchsienne est complè- 

 tement indéterminée, mais le nombre des valeurs exceptionnelle» ( valeurs que 

 la fonction n'atteint jamais) peut être quelconque. 



La question suivante se posait désormais : Une fonction uniforme Vi^x)^ 

 dont les singularités forment un ensemble parfait partout discontinu, soit E, 

 est-elle toujours indéterminée (soit complètement, soit incomplètement) au 



