SÉANCE DU 3 MAI 1909. II 57 



roisinagr de ses points singuliers ? Ou bien, au contraire , peul-dle être continue 

 partout, sa ^mcee seule cessant d'exister en des points de E? 



En posant celte question, il y a bien des années, j'avais distingué les 

 ensembles E en plusieurs classes : 



i" Ensembles E qui peuvent être enfermés dans des aires dont la somme 

 des contours est aussi petite qu'on veut ; 



2* Ensembles E qui peuvent être enfermés dans des aires dont la somm« 

 est aussi petite qu'on veut, et dont le contour total reste inférieur à une lon- 

 gueur donnée; 



3° Ensembles E qui peuvent être enfermés dans des aires dont la somme 

 est aussi petite qu'on veut, mais dont le contour total dépasse toute limite; 



4" Ensembles E qui ne peuvent être enfermés dans des aires dont la somme 

 soil inférieure à une certaine aire (non nulle ). 



Dans les cas 1° et 2", il résultait aussitôt de l'intégrale de Caucby que la 

 fonction F(j7) est indéterminée au voisinage d'un point singulier, complè- 

 tement dans le cas 1", peut-être incomplètement dans le cas 2°. L'exemple 

 de M. Pompéiu, précisé par M. Denjoy, montre d'une façon indiscutable 

 que dans le cas 4*' la fonction F( x) peut être partout continue. Le cas 3" reste 

 seul en suspens. 



11 convient de signaler le rôle joué, dans ce résultat, par l'extension, due 

 à M. Lebesgue, de l'intégrale définie. Grâce à cette opération ('), que 

 nombre de géomètres jugeaient artificielle et trop abstraite, une question 

 naturelle, une question fondamentale qui restait indécise à l'entree de la 

 théorie des fonctions uniformes, est aujourd'hui tranchée, et tranchée 

 précisément dans le sens qui semblait le moins vraisemblable à la plupart 

 des analystes. Bien des questions intéressantes restent à résoudre au sujet 

 de ces mêmes ensembles de singularités. L'intégration de M. Lebesgue 

 pourra contribuer là encore à la formation d'exemples décisifs. 



.MÉCANIQUE. — Sur le mouvement d'un disque dans un fluide. Note de 

 M. A. DE Gramont de Guiciie, présentée par M. Emile Picard. 



La resistance des fluides a été généralement étudiée sur des corps à qui 

 on imposait un mouvement déterminé au moyen de manège tournant, de 



(') Celle opération a déjà moniré son iililité dans les problèmes analogues au pro- 

 blème de Dirichlet. 



