et 



ACADEMIE DES SCIENCES. 



coso. 



q ^ binuj, 



,__^'; 



()^- 



Gela posé, si Ton cherche les systèmes singuUers d'ordre un, on trouve 

 que (]; et sont des fonctions de eu +/(', e et /étant des constantes. Ces so- 

 lutions particulières sont bien connues, les surfaces à courbure totale con- 

 stante qui leur correspondent sont des hélicoïdes. Je vais obtenir de nou- 

 velles surfaces à courbure totale constante en cherchant les systèmes singu- 

 liers d'ordre deux. 



Si l'on a 



(4) 



=:; sind/ -l-- 0, -— , 

 ' ' ' ou 



p et p. étant des constantes, on aura aussi 



(■>) 



7 d'L 



sin w ov 



SI 11 7, 



cos5 ~ [j., 



I a -.- — ù cos 'Il — Oi 

 p. étant une constante; en appelant S la somme a^+ ^■- + y", ou a 



11- W COS^'j/ -L ' -^ 



(6) S =: p^ ] COS^ CO -f- s 



4- p; ^ sin-w -f- cos- M 



COS2/3+ — 



I r ■ ,'^^\ 

 ■ 2 00, cds-ci) COS 7 cos 7 -t- sin'i/ -— 



2 pij. COS A -i- 2 pi ;j. cos 5 -i- [J.-. 



sin-'.i ( 



cos^]; cos 5 -r s 





o 



r, SI 1 on pose 



h =: cos 5 



hr- 



du' 



■ sin 6* cosdi, 

 sin (y cosô. 



/, := cos 'il 



COS J; sini]/, 



du 



on voit facilement qu'on a 



d'L 



1 <) 



2 (}(/ 



00=^ 'J> -1- 



c^i- 



(7) ', 



2 ou L \'^«/ 





l'O^- 'Jj 



T- COS'O -h 





= /, sin 5, 



-T— cos-'> cos5 + sin J> -r- ) = A, sinu;, 

 oti\ ' ' ôuj ' T 



m 



-r- COS 6 COS & -t- SJn'J- -^ Y^^ l\^, 



dv \ ' ^ du I ov 



d î 



d<^ 



-T- ( cos'i cos 'j -1- sin -i | ~ A -^ 

 ùu\ ^ de/ du 



dO 



d 



d_ 



di- 



cos'i; COS y -t- sin 7 



de 



/sin6. 



