SÉANCE DU 17 MAI 1909. 1297 



Cela posé, dans la formule (6) S est une constante, la dérivée du second 

 membre par rapport à u doit être nulle. Or cette dérivée est un produit de 



deux facteurs, dont l'un est psin-I/ + o,—-- Ce facteur n'est pas nul, c;\v 



alors le système serait singulier d'ordre un. On doit donc annuler le second 

 facteur. On arrive à un résultat analogue pour la dérivée par rapport à r. 

 On obtient, en somme, les deux équations 



I siii-r,) ^ ■+ Oi cos-f,) //i — asin6^o, 



I sin-f.! / -r- Oi cos-'o /, — ij. s'\ i< 'h -= . 



On doit donc avoir des relations de la forme suivante • 



\ '/. !i -}- /., /( , -h À, sin =rzo, 

 (9) 



( /,/ H-/.,/, -h À, siri'y =: o, 



A, 7.,, Xj étant des constantes. Si je multiplie la première de ces équations 

 par sin •^i'/«, la seconde par -T-7</(', j'obtiens une difTérenlielle exacte d'après 



les formules (7); on obtient un résultat analogue en multipliant ces équa- 



âO ■ 



lions respectivement par -—du et sinOr/t'. Des équations (9) on déduit 



donc 



àv j 



\ /. ( cosii cos9 4- sin ^ — '- 



cos-J> cos 'i H- sin U; -— - — /., cos'i r= .s, 

 'Ou 





/., cose ^ Si, 



s, et $2 étant des constantes. D'autre part, la comparaison des équations (8) 

 et ('9) donne 



(ni o-=lc~ — 1 0,-= A- — '-^1 u =: — /»■/.,. 



' Mii-fj) cas-'.] 



k étant une inconnue auxiliaire. En portant ces valeurs de p, p,, u. dans 

 l'équation (6) on aura, en tenant compte des équations (10), 



S .„cos-i» , „ sin'-'.) 2/5, ■2/4 s., , ., 



(13) ——/°-^-. \- A: : \- ^^, \ V^-t-/.;. 



A- sin'w ros-'j) sin-C) cos- m 



Si donc les équations (10) sont satisfaites, on pourra, quel que soit co. 

 déterminer a, p, y par les équations (4), (5), (n). 



Il est clair que, si l'on prend trois déterminants A, entre les p de ces déter- 

 ini liants existera une relation linéaire. Nous sommes donc bien dans le cas 

 d'un système singulier d' ordre deux . On démontre facilement la réciproque. 



