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Si le second membre de l'équation (12) est nul, la combinaison a, fl, y du 

 déterminant A est une combinaison isotrope. Les valeurs do cos^w pour les- 

 quelles ce fait se présente sont les racines d'une équation du quatrième 

 degré. C'est l'équation caractéristique. 



En somme, la recherche de ces systèmes singuliers d'ordre deux revient 

 à trouver les fonctions 6 et '\i, qui satisfont aux équations (i) et (10). Ici, on 

 peut établir directement qu'il existe des solutions de ces équations, c'est- 

 à-dire des systèmes singuhers d'ordre deux. Supposons les équations (10) 



résolues par rapport à -3- et -^- On aura des expressions de la forme 



(.3) " ^ = ^^(^'^)' S=^'^^''^^- 



Pour que ces équations soient compatibles avec les équations (i), il faut 

 et il suffit que 



{ , ■ . '^F • I r ^^^ 



\ cosib sin& = — 7^ siiiU; + r , —— , 



J r ■ , '''1 • r 1' "' 1 



f COS& sind; = -— p siii tl + 1' — r~- 



Or, si l'on tient compte des équations (lo ), on voit que les conditions (i4) 

 sont satisfaites identiquement. On en conclut que le système des équations 

 (i) et (lo) admet une solution comportant deux constantes arbitraires. 



Si l'équation caractéristique a une racine double, les surfaces à courbure 

 totale constante qu'on obtient ainsi peuvent se déduire des hélicoïdes parles 

 transformations Bianchi-Bâcklund. Dans le cas contraire, cette méthode 

 donne de nouvel/es surfaces à courbure totale constante. Il y a, entre ces 

 nouvelles surfaces et les surfaces dont les deux nappes de la surface des 

 centres de courbure sont des quadriques, un lien très étroit. 



Enfiu je fais remarquer, en terminant cette Note, que la considération 

 des systèmes singuliers d'ordre quelconque permettra d'obtenir de nouvelles 

 surfaces à courbure totale constante. 



M. E.-L. 8ÎOKVIER s'exprime en ces termes : 



Il y aura bientôt 2 ans, j'ai eu le plaisir de présenter à l'Académie le 

 premier Volume d'un Ouvrage consacré pai- M. Houard aux Zoocécidies des 

 plantes d'Europe et du Bassin de la Méditerranée ; aujourd'hui, cette ojuvre 



