SÉANCE DU 17 MAI I909. l3oi 



indéterminés A, cln polynôme F ainsi qu'aux quatre paramètres X, X, , A^, X.i 

 dont dépend la surface S (au point de vue projectif), et l'élimination des 

 quantités A, entre ces équations conduit a priori à des conditions algé- 

 bri(jues E(X, X,, X^, X3) = o : je nie propose d'établir que ces conditions 

 sont satisfaites d'elles-mêmes. 



A cet effet, considérons les fonctions thêta de a, r répondant au Tableau 

 de périodes 



T 



h 



np' 



( '^^p'-i 



p étant un entier arbitraire; on peut former quatre fonctions de ce type, 

 paires, du second ordre et de caractéristique nulle, qui admettent l'une des 



P 

 seize demi-périodes — pour zéro d'ordre '\p, et la surface S^,, dont les coor- 

 données homogènes d'un point sont proportionnelles à ces quatre fondions, 

 est une surface particulière du quatrième ordre à quinze points doubles, 

 caractérisée par une condition algébrique 



Ceci posé, donnons à ?i,, ^2- \ des valeurs fixes, d'ailleurs arbitraires, V[, XS, X°, et 



faisons varier le paramètre \ : lorsqu'il est égal à l'une des racines !'/''> de l'équa- 



lion/y, ("A, À", À", 11) = 0, la surface correspondante est représentable au moyen des 



fonctions tlièla relatives au Tableau de périodes T^^j^.,, et, dans celle représentation 



paramétrique, la courbe C est définie par une équation de la forme &,,(it, (.■)=:o; ai 



l'on désigne par /ip l'ordre de la fonction 0,, et par rjp l'ordre de multiplicité auquel 



V 

 elle s'annule pour la denii-])ériode —, le degré de la courbe a pour expression 



0) 



d'où la relation 



2[(l -1- ip-)i'p — p'Ji'] — 2f/, 



n,, — d 

 7p- ■'■l>'if— „ • 



Or, le nombre /i^, est limité, car, si l'on mène par la courbe G une surface algébrique 

 déterminée, de degré l\, il est clair (|ue /j^, est au plus égal à 2N; dès lors, la difl'é- 

 rence {(] p — iprip), qui ne peut prendre que des valeurs entières, est nécessairement 

 nulle dès que p dépasse une certaine valeur, et, par suite, 



n,, — d, 



,],,— idp. 



Il résulte de ces relations que la fonction \^pU, cj- s'exprime parmi poly- 

 nôme homogène de degré d par rapport aux quatre fonctions coordonnées, 



