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c'cst-à-dirc qu'on peut circonscrire à la surface S,,, le long' de la courbe C, 

 une surface algéltrif|uc d'ordre c/. Les équations E(A, X", À", A") = o envi- 

 sa|?éesplus haut sont donc vérifiées pour une infinité de valeurs A""* du para- 

 mètre X et par suite pour toute valeur de ce paramètre. 



Si l'on remarque que, en vertu de la relation (i), les surfaces S^, et, par 

 là même, la surface générale S ne possèdent que des courbes de degré pair, 

 on peut énoncer le théorème suivant : 



Les courbes ala^chriques, tracées sur la surface générale du quatrième ordre 

 à (juinzp points doubles, sont toutes de degré pair, et le long d'une courbe 

 quelconque (de degré 2d), on peut circonscrire à la surface une surface 

 (d'ordre d) ne la rencontrant pas en dehors de la courbe. 



De cette propriété on déduit la valeur des nournres p et p„ |)Our la surface 

 considérée : p est égal à un et p„ à si.r. 



Si l'on considère d'autre part les surfaces S^,, définies analytiquement au 

 moyen des fonctions quadruplement périodiques de u, v, on reconnaît 

 aisément que, pour ces surfaces pailiculières, p est égal à deux et p„ à cinq. 



Donc : On peut former une infinité dénombrable de conditions algébriques 

 entre les paramétres dont dépend la suif ace générale du quatrième ordre à 

 quinze points doubles, f^ (X, X,, X„, X.,) = o, telles que le nombre p^ des inté- 

 grales doubles distinctes de seconde espèce de la surface s'abaisse de KiM', 

 unité, lorsque l'une quelconque de ces conditions est vérifiée. 



Des considérations analogues s'appliquent aux surfaces du quatrième 

 ordre à un nouii)re quelconque de points doubles isolés ; voici le résultat : 



Pour la surface générale du quatrième ordre à o points doubles isolés, l'in- 

 variant relatif p est égal à l'unité et l'invariant absolu p„ a pour t^aleur 

 (ui — o) ; mais on peut définir des familles dénombrahles de surfaces de ce 

 type S„ „. , caractérisées chacune par cr conditions algébriques entre les 

 paramètres dont dépend la surface générale, pour lesquelles le nombre p est 

 augmenté, et le nombre p^ diminué de a unités. 



A titre d'exemple, la surface générale du ([uatrième ordre à dix points 

 doubles, du type symétroïde, possède onze intégrales doubles distinctes de 

 seconde espèce, tandis que la famille des hessiens de surfaces cubiques 



a Ij c d e 



-H 1 h - ^ ~=0, 



X y z t II 



qui appartient à ce type, en possède seulement sia- ; on peut d'ailleurs former 

 une infinité dénombrable d'équations algébriques /^, (o, b, c, d, e) ^ o pour 

 lesquelles ce nombre s'abaisse de une unité. 



