SÉANCE UU 17 MAI 1909. l3o'3 



AXALYSt: MATHÉMATIQUE. — Sur les sii/les de fondions mesurables. Note (') 

 de M. Frédi';ric Riesz, présentée par M. Emile Picai'd. 



1. Soit E un ensemble mesurable. Pour fixer les idées, nous le supposons 

 linéaire, et nous entendrons par mesure la mesure linéaire, en nous servant 

 de la terminologie de M. Lebesgue. Soient /, (a*), /:.(r), ..., f{jc) des 

 fonctions mesurables, définies sur l'ensemble E; £ étant une quantité posi- 

 tive rpielconque, nous désignerons par /72(/7, s) la mesure de l'ensemble 



V\fi'-)-f„{.v)\>z]; 



alors nous dirons que la suite [,/„(^)| tend en mesure vers la fonction /"(.i-), 

 si, quelque petite cpie soit la quantiti' t, on a 



liin /«(/(, £) = o. 



n = <K 



M. Lebesgue a remarqué que cbaipie suite convergente de fonctions me- 

 surables tend aussi en mesure vers sa fonction limite, et naturellement ce 

 fait subsiste encore si, pour un ensemble de mesure o, la convergence n'a 

 plus lieu. La démonstration de ce fait, donnée par M. Lebesgue (f^eçons sur 

 les séries trigonométrir/ues), n'est pas tout à fait correcte, mais elle peut être 

 aisément corrigée. 



La notion de convergence en mesure peut être considérée comme une 

 extension de la notion simple de convergence. Un seul exemple suffira pour 

 montrer rpi'elle nesl pas artificielle et qu'elle pourra rendre des services 

 utiles eu donnant aux recherches sur les suites de fonctions un point de vue 

 nouveau : 



La série de Fourier d'une fonction sommahle à carré sommahte sera en 

 général divergente, mais elle coniergera toujours dans le sens généralisé. 



2. Soit donnée une suite [/'«(■^)] tendant en mesure vers la fonction f{x). 

 On en peut tirer une suite partielle \f',{^)\ 9"^ sauf au plus pour les éléments 

 d' un ensemble de mesure o, converge vers la fonction f(.v). A ce but, on se 

 donnera d'abord une série numérique convergente 2/;„ à termes positifs 

 décroissants; et l'on définira f^i^sL-) comme la première fonction dans la 

 suite [/«(r)], de rang plus élevé que la fonction/,* , (^) et telle que l'en- 

 semble 



[[/{•'■)-/;(^)i>/^«] 



(') PrésL'MlL-e dans la sijaiu-e du 3cj mars igoy. 



