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soit de mesure <ip„. La suite partielle ainsi délinie jouira de la propriété 

 exigée. 



3. Nous établirons le théorème suivant : 



Soit [./„(*■)] ^^^ suite de fonctions mesurables. Alors, pour cjuil existe une 

 fonction f{x) telle que la suite tende i^ers elle en mesure, il faut et il suffit 



que l'on ail 



lim w(£, ', /i ) = o, 



quelque petite que soit la quantité positive t, en désignant par m[i, i, k) la 

 mesure de l'ensemble \ \fi{x) — fki-^) I ^ ']• 



La nécessité de noire condition découle immédiatement de l'inégalité 



/« ( £ , /, k ) ^ /?((-)/ 1 + /«(") A I . 



L'inégalité analogue 



/«(£, «, k) imi-1 i, l\ + ;«( -, k, /\, 



liée au fait déjà mentionné que toute suite convergente (sauf peut-être pour 

 des éléments qui font un ensemble de mesure o) tend aussi en mesure vers 

 sa fonction limite, nous permettra de réduire la question si notre condition 

 est suffisante à l'autre question : Peut-on tirer de la suite \ fn{x)] satisfai- 

 sant à notre condition une suite partielle qui, en général, soit convergente ? 



Pour définir une telle suite partielle, nous nous servirons de nouveau de 

 la série S/7„. Nous désignerons par /*(a:-) la première fonction dans la 

 suite [/n(^)] de rang plus élevé que la fonction /,*, (^r) et telle que pour 

 chaque fonction de rang plus élevé /r{^) l'ensemble des éléments 



I I /rC*') ~/h('^')I ^ P"] ^'^i'- d^ mesure <iPn- Maintenant, soient z, <j deux 

 quantités positives quelconques; alors on peut déterminer n tel que l'en- 

 semble [I/,*+a(^') ~/« (•^) I > ^(^ = ^' ^5 •••)] soit de mesure < c:. Il suffit 

 de choisir n tel que l'on ait 



00 



Pn<^, ^Pk<cr. 



De là il suit que les points où la suite f/,'('î')] cesse de converger, s'il en 

 existe, ne peuvent former qu'un ensemble de mesure o. 



4. En se servant de la propriété des suites convergentes de converger en 

 mesure, M. Lebesgue a démontré que toute série convergente de fonctions 



