SKANGE DU 17 MAI 1909. l3o5 



sommables dont les restes à partir du n'"^' sont bornés dans leur ensemble 

 peut être intégrée terme à terme. Pour la démonstration ce n'était 

 que la convergence dont il avait besoin; le ibéorème subsiste quand on 

 y remplace la convergence par la convergence en mesure. Le même fait se 

 présente pour beaucoup de résultats plus généraux, concernant des suites 

 de fonctions sommables; de plus, ayant été débarrassées d'une prémisse 

 superflue, les démonstrations gagneront en simplicité. Par exemple, en géné- 

 ralisant un résultat de M. Fatou, on aura le tbéorème : Étant donnée une 

 siiile \f,i(x)\ dp fonctions positives, sommables, tendant en mesure vers une 

 fonction J\x)^ alors si 



fj 



l'esté, quel que soit n, inférieur à un nombre fixe, (i, la fonction fi^x^ est som- 

 mable et l'on a 



I/^ 



X ) d.c 'z G. 



En appliquant notre critère de convergence (en mesure), on en déduira le 

 théorème très général : Soit p un nombre positif quelconque et soit \f„{^^^ 

 une suite de fonctions mesurables telles que les intégrales 



!/,/.= f\M-r)-.f,A^r)ydx 



existent et que 



lim I,,/f = o; 



i ^ XI , /i ^ » 



alors il existe toujours une fonction /nesurablefi^x) telle que 



lim f\/i.r)-/„(a:)\"dx = o. 



Ce lliéoièmc contient en cas particulier un théorème fondamental énoncé 

 par M. 1^. Fischer, lié d'autre part intimement à bien des résultats, trouvés 

 par l'auteur, concernant les systèmes de fonctions orthogonales. 



.K Pour j)liis de comniodili', l'ensemble mesurable i était jusqu'ici sup- 

 posé linéaire; mais cette restriction n'a rien d'essentiel. Toutes nos consi- 

 dérations s'étendent aux ensembles mesurables appartenant à des variétés à 

 dimension quelconque, les notions de mesure et d'intégrale étant définies 

 d'ime manière convenable. 



