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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le principe de Dirichlet et le développement 

 des fonctions /larmoniques en séries de polynômes. Note de M. Skrge 

 IÎER\STEi\, présentée par M. Emile Picard. 



On connaît actuellement plusieurs démonstrations du principe de Di- 

 richlet pour l'équation de Laplace ; moi-même, j'en ai indiqué une dans 

 un Mémoire publié en russe, qui se rattache à une méthode générale de 

 variation continue du contour ou des coefficients de l'équation ('). 



Aujourd'hui, je me permets d'attirer l'attention sur un nouveau mode 

 de démonstration, qui a pour but de donner en même temps un moyen de 

 développer la solution cherchée en série de polynômes. 



Soit C un contour fermé admettant en chaque point un rayon de cour- 

 bure déterminé. Soient J\(s), /^(s), ... un ensemble dénombrable de 

 fonctions de l'arc s sur le contour ; nous dirons que cet ensemble de 

 fonctions est complet, si toute fonction continue sur le contour peut être 

 représentée avec une approximation aussi grande que l'on veut par une 



somme finie de la forme V A„f„ (s). 



n = 1 



En tenant compte du théorème de Harnack, il suffira, pour démontrer 

 le principe de Dirichlet, de prouver que l'ensendAe de fonctions i, pcosO, 

 psinO, ..., p"cos«0, p"sin«0, ... est complet sur le contour (.]. 



Pour le voir, nous appliquons le critère de M. Schmidt, d'après lequel il 

 suffit qu'aucune fonction continue non nulle o(s) ne puisse annuler à la fois 



toutes les intégrales / o(s)/',',(s)ds, pour que l'ensemble des fonctions /"„( a- ) 



soit complet. 



Or, il est facile de vérifier le leiume suivant : 



Lehme. — P(s) étant une fonction conlinue cjuelcontjue, z étant égala x{s) ->riy(s) 

 sur le contour, et soient u^-r:: a -\- ib, u^^^c -i- id, oit (a,b) sont tes coordonnées 

 d'un point P, intérieur au contour et (c, d) celtes d'un point P, extérieur, on a 



r f ¥(s)dz rvisUzi . 



lorsque les deux points Pj et P., se rapprochent indéftniiuetit du point I* du contour 

 correspondant à la valeur Sf, de l'arc. 



(') Communicalions de la Soc. math. île hharl.oiv. i()o8.Voir égalemeiil Comptes 

 rendus, i3 mai 1907. 



