SÉANCE DU 17 MAI 1909. l3o7 



On en conclut immédiatement qu'il ne peut pas exister de fonction conti- 

 nue ^(s) annulant à la fois toutes les intégrales 



J' o(s) (p" cosnO)',r/s. 1 o{s} i p" i\» n9)',.ds. 



En effet, on tirerait facilement de là que 



I — riz = O 



Je- — "^ 



pour tout point P, (c, d) extérieur un contour; de sorte qu'on aurait 



rz,{s)dz. 



1 iT.'i( So ) ^ lim 



•c - ". 



égalité inadmissible, puisque o(s) est l'éelle et qu'aucune fonction de la 

 variable complexe u^ ne peut avoir sa partie imaginaire nulle sur un contour 

 fermé. 



Telle est la base essentielle de la démonstration. D'après le critère de 

 M. Schmidt, nous voyons donc que les fonctions 



J' p" cosnd ris, j p„sin« 



-^n 



9ds 



forment un ensemble complet sur le contour C. On ne peut pas pourtant en 

 conclure immédiatement que les fonctions p"cos7iO, p"sinnO forment égale- 

 ment un système complet. Pour ne pas allonger cette Note je n'insisterai 

 pas sur le petit artifice de calcul qui permet d'arriver au but. 



Quant au développement effectif de la solution du problème de Dirichlet 

 en série de polynômes, on peut procéder de la façon suivante : 



En posant z ^ x -\-yii 3, = r —yi\ on peut construire sur chaque con- 

 tour C deux paires de systèmes de polynômes [P„(:;), P„(^ :;,)], 

 [Q"(^)î Qn(^i)]î jouissant de la propriété que 



fQn ( -. ) Q,„ {^)dz= fv„ {z ) P',„(z, ) dz, = o, 

 si n ^ m -I- I , et 



Je 



£ 



c '■'c 



si n = m -^- i. 



c. R., 1909, I" Semestre. (T. CXLVni,N- 20.) » 6() 



