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On démontre alors que toute fonction continue ¥(^s) de l'arc sur le contour 

 peut être développée en série 



avec 



b„^J'F{s)Q„.,(z)dz, a„=J'l-(s)P'„^,(z,)dz,; 



cette série converge à l'intérieur du contour et représente la fonction harmo- 

 nique tendant uniformément sur le contour vers F(^). 



Dans une prochaine Note j'examinerai les conditions de convergence sur 

 le contour, ainsi que certains contours particuliers. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentielles linéaires et les 

 transcendantes uniformes du second ordre. Note de M. René Garniek, 

 présentée par M. P. Painlevé. 



Considérons une équation linéaire du second ordre 



d-y 



où p est une fonction rationnelle en a;, dont les coefficients dépendent 

 analytiquement des paramètres l et h, et telle que ^ = co soit le seul point 

 essentiellement singulier de (i). Ainsi, à l'exception de v points A,, X^, ..., "a^ 

 qui seront apparemment singuliers, tous les points à distance finie seront des 

 points ordinaires pour (i). Posons-nous la question suivante : Peut-on 

 adjoindre à (i) deux équations linéaires 



(2) -^ = A(,i-; t,u)y+^{j:; I, i')-j^' 



(3) ^ = C(x; /,«)/ + D(^; /, M)^, 



A, B, C, D étant des fonctions rationnelles en .r, dépendant analytiquement 

 des paramètres / et u, de sorte que le système (i), (2), (3) soit complète- 

 ment intégrable? Alors, pour tout système de fonctions p, A, B, C, D 

 répondant à la question, l'intégrale générale de (i), (2), (3) sera 



