SÉANCE DU 17 MAI I909. l'ioQ 



K, et K2 désignant des constantes arbitraires, r, et y.^ deux intégrales par- 

 ticulières du système. 



Je démontre d'abord que, si le nombre v des points apparemment singuliers 

 est inférieur à 1, il existe une fonction r^(t,u) telle que p, A, B, C, D 

 dépendent seulement de x et de i/(t, u). En remplaçant t par ©, on peut donc 

 réduire, pour v = o et 1 , le système proposé à ses deux premières équa- 

 tions, (i) et (2), où p, A, B désignent des fonctions indépendantes de u. Ce 

 sont ces deux cas que j'étudierai dans cette première Note. 



Dans le premier cas (v = o), p se réduit à un polynôme, B est linéaire 

 en a?, soit 



«(0 



La substitution 7.(t)x -h ^^(t) ^ x, transforme le système (i), (2) en un 

 système pour lequel B est nul, dp indépendant de t. 



Considérons maintenant le cas où il existe un point apparemment sin- 

 gulier X ; on a 



B doit être de la forme 



a' a: -h (3' 



P 



->.)- J- — /.' 



(X y:-(a- — 't.) 



I 



Une transformation simple ramène B à la forme ,f_-, - 



m m 



Définissons encore les hj par l'identité en a; : ^ a,-.r, =:^ /y,(aT — A)'. 



1 = /=!) 



Les fonctions i,, p et X de t doivent vérifier le système suivant, où les 

 accents désignent des dérivées par rapport à t : 



(4) 





Supposons d'abord m%\\ on voit aisément, d'après (4), que les h sont 

 des polynômes en \, à coef/ieient.s constants, X devant vérifier l'équation 



(5) l"=C,{2l'+ il) -+- ^ (6}:' + l) -^ 2CÙ -+- C^. 



4 



