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Il est loisible, moyennant des transformations élémentaires, de ramener (5) 

 à l'une des quatre formes canoniques obtenues en attribuant aux constantes 

 les systèmes de valeurs suivants : 



1° Ct=0=:C3^C2, (-1=1, 



2° 



3° 



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Les deux premiers cas donnent des équations banales ; mais il est très 

 remarquable que les deux derniers conduisent aux deux équations les plus 

 simples, dont l'intégrale a ses points critiques fixes, découvertes par M. Pain- 

 levé. 



Dès que l'on suppose /?z>4î l'équation différentielle vérifiée par \ est 

 d'ordre supérieur à 2; mais elle n'a pas ses points critiques fixes. 



On sait qu'il existe quatre autres équations irréductibles du deuxième 

 ordre dont l'intégrale a ses points critiques iîxes ('). Chacune d'elles jouit 

 d'une propriété analogue à celle des deux premières; autrement dit, à 

 chacune d'elles, soit 



(6) 7/'=R(À', ^, 0, 



on peut associer un système linéaire (i) : 



(.') |=A(,..0/-.B(.,og> 



tel que (6) représente la condition pour que {s) soit complètement inté- 

 grable; mais, si « (= 2, 3, 4) est le nombre des singularités non polaires 

 de (6), (i') aura« points essentiellement singuliers (en outre du point appa- 

 remment singulier X). Il est facile de former directement ces équations. Mais 

 on les retrouve immédiatement de la façon suivante. M. Painlevé a montré 

 {loc. cit.) que toutes les équations (6) sont obtenues par dégénérescence de 

 l'une d'elles, (E), moyennant des transformations (a). Or, tous les points 

 essentiellement singuliers de l'équation (i') correspondant à (E) (soit 0,1,/ 



(') Comptes rendus, 24 décembre 1906; voir aussi les Notes antérieures de 

 M. Gambier. 



