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qu'on trouve sans peine que la condition nccessaire el suffisante pour que la 

 ligne de paramètre p soit une droite est qu'on ait 



2)i + 2(ji(a-l-(3)+v(a-i-(3)2=:o. 



Nous allons indiquer maintenant quelques propriétés qu'on obtient en 

 appliquant au cas particulier actuel les théories générales relatives à la 

 déformation infiniment petite d'une surface quelconque (voir Darboxjx, 

 Théorie des surfaces, l. IV, Chap. III). 



On sait que M. Guichard a nionué comiiierU on pouvait obtenir la congruence (G) 

 la plus générale telle que les lignes asymploliques se correspondent sur les deux 

 nappes (S) et (i) de la surface focale. J'ai été conduit à me demander si ces deux 

 nappes ne pouvaient pas être des surfaces réglées dont les génératrices se corres- 

 pondent. J'ai reconnu d'abord (|u'on obtenait la solution la plus générale de ce pro- 

 blème en associant, à une surface réglée quelconque (S), la surface (i) (en conservant 

 les notations employées par M. Darboux dans son Ouvrage) qui correspond au cas où 

 la fonction arbitraire B relative à la déformation infiniment petite de (S) est nulle, la 

 fonction A restant arbitraire (voir la Note rappelée ci-dessus). 



Ceci piermet donc de résoudre complètement le problème sans aucune quadra- 

 ture. 



Mais on peut présenter la solution sous une forme plus élégante. 



Introduisons la surface ÇL) en la rapportant, elle aussi, à ses lignes asymp- 

 loliques a, et p,. Soient a,, b^, c, les trois fonctions de a, qui déterminent 

 cette surface. Enlin posons 



Xo = f(b'c"—c'b")doi, a-i=z f( b\ c[ — c\ b'[)doL^. 



Les surfaces (S) et (2) seront les deux nappes de la surface focale d'une 

 congruence (G), si l'on a 



l (a — ai)(«'— rt,) = 2(a-i-rt, ), 



(2 ) l 



I ^1 — a'o := c' b\ — b' c\ , 



et les relations analogues. Dans ces relations, les dérivées des lettres sans 

 indice sont prises par rapport à oc; celles des lettres affectées de l'indice i 

 sont prises par rapport à a,; enfin a, est une fonction de a qu'on peut 

 choisir arbitrairement, et qui sert à définir la correspondance entre les 

 génératrices D de (S) et A de (1). La correspondance entre les points de 

 deux génératrices homologues est donnée par [3, = ^. 



Le problème de la recherche des congruences précédentes est équivalent 

 au suivant : Trouver une famille de quadriques ( Q) dépendant d'un paramètre, 



