SÉANCE DU 24 MAI 191)9. 1869 



telle que chaque surface de la famille touche son enveloppe suivant un quadri- 

 latère gauche. Si Ton adopte, par exemple, les notations précédentes, 

 l'équation générale des quadriqiies; qui correspondent au couple de sur- 

 faces (S ) et (H) considéré est 



(3) a(Pn,_np, )-l_(a,-:.)QQ, = o. 

 où l'on a posé 



P= S<7(.r — ,r„), Q = Sr/'(.r — ,r„), P, = S(7,(.r — .r, ), Q, = Srt, (^ — .r, ). 



Le quadrilatère de contact jouit de la propriété suivante : La surface 

 réglée engendrée par chaque côté admet pour tangentes asympt.otiques les 

 deux côtés qui rencontrent celui-ci. 



Réciproquement, tout quadrilatère jouissant de cette propriété peut être 

 obtenu de la façon précédente. 



On peut encore donner une autre forme à la solution de ces problèmes. 

 Si l'on pose 



Rr=Srt"(a' — ^0) et 0=1 II (7, (7', «■' II, 



l'équation d'une quadrique (Q) peut s'écrire 



(4) 5PR-Q(Q-2o)-i-/(P-wr))(P — «Q) = o, 

 les trois fonctions t, m, n étant liées par les deux relations 



/ t{n — mr) {i — 2n' ) -^ 1 (1 -i- 2 n fx + 2 n^ v). 



Trois des cotés du (piadrilatère de contact ont alors pour équations 



\ P =0. i P=r/«Q, . P~hQ, 



(D) ! if/) ■ ' id') ) '^' 



/ n=0, I 3ml{ = Q~2d. I 3«R = Q-25. 



On voit qu'on peut se donner arl)ttraire/nent l'ensemble des droites d, 

 pourvu qu'elles soient tangentes asymptotiqiics de (S). La famille des 

 droites opposées d' est alors déterminée par une équation de Riccati. 

 Signalons, pour terminer, quelques cas particuliers intéressants : 

 Si ^ =: o, la quadrique ((V) est riiyperboloïde osculaleur à (S) le long 

 Je D. Les fondions m et n sont alors les deux racines de lYMjuation 



À -f- 2 m [j. + 2 «j-v r= o, 

 de sorte que, /«)///• que Vhypcrhohvdc soit rDTisInmmcnt nsrulateur à une seconde 



