1872 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



2° /î = m. On trouve l'équation intégrale 





si l'on a posé A, (x, t) = k„(x, t) -h h (œ, t). 



3° fi <^ m. En faisant les mêmes substitutions et en posant 



m — n 



/ = /' 

 l'équation (i) devient l'équation mixte d'ordre (o, m — n) 



g{x)-j y^h,{x.t)g'p){t) + h{x.t)g{i)\dt=-i{x). 



En intégrant par parties sous le signe somme, comme l'a fait M. Bou- 

 nilsky, on ramène facilement cette dernière équation à une équation de 

 Fredholm. Connaissant ^(a;), la solution de l'équalion (i ) s'obtient ensuite 

 par la formule (3). 



3. Considérons en particulier l'équation mixte d'ordre (/?, o) 



(5) Vf(x)-lj' k(x.s)f(s)d^^^{x), 



et convenons d'appeler T àef{t) l'expression 



T/(M= f U(.r, t)f[t)dt. 



I. La solution f(x) de V équation (5) est la solution d'une équation de 

 Fredholm dont le noyau est^ k {t, s^ et dont le second membre est la somme 

 de T '1^ (<) et de l'intégrale générale de l'équation 



Vf{x) = o. 

 Posons enfin 



T„/(t^, t,, ..., t„)= f \i{x^,t„)f U(a-„__,, <„-,)••• 



XJ \]{Xt, tt)/{lt, t.,, ..., t„\ dit^, I.,, . ... t„). 



La solution de l'équation (î) dépend d\uie fonction détervninanle entière 



