SÉANCE DU 24 MAI 1909. l^'^3 



en X, analogue à D(X) de M. Fredholin et ayant pour expression 



^'<')=-i^'X"-,("^v<(:;;::::;;:;)-/<.,... 



Ses mineurs A, , A.,, . . . , Aj, ont des expressions semblables. 



If. Dans le cas A,^ (A) ^ o la solution de l' équation (5) existe toujours et 

 dépend linéairement de n constantes arbitraires. 



Dans le cas A =^ A , := . . . ^= A^, , ^ o , mais Ap^p^ si p <^n la solu- 

 tion dépend encore de n constantes arbitraires; si p ^ n Vèepiation (") ) n a pas 

 en général de solution; mais, si p — n équations de condition sont satisfaites, 

 l'équation (5) a une solution dépendant linéairement de p constantes arbi- 

 traires ('). 



ANALYSE MATHÉiMATIQUE. — Sur la sotnme des n premiers coeffi- 

 cients d'une série de Taylor. Note (')de M. Carl Hanse.v, pré- 

 sentée par M. Emile Picard. 



Soit /"(*) une fonction analytique qui admet le développement 



(1) /(.)=Vc„*". \s\<i. 



Désignons par M(p) le maximum du module def\s) sur le cercle \s\ = p 

 et par C„ la somme des n premiers coefficients du développement (i). Nous 

 allons démontrer l'inégalité 



|C„|< jé[M(p) + £(;0], 



P 



quelle que soit la valeur de p plus petite que Funité, t(n) étant une quantité 

 qui tend vers zéro avec -; inégalité rappelant celle de Cauchy pour un 

 seul coefficient c„. Pour le montrer, nous remarquons d'abord qu'on a 



Z^=:yC„y^ |.V|<,. 



I .V 



n=0 



(') Dans un cas particulier où np conditions sont remplies, la solution dépend 

 de n -h p constantes arbitraires. 



(-) Présentée dans la séance du 17 mai 1909, 



