13^6 ACADÉMIE DES SCIENCES, 



on arrive au résultat 



I 



I a„ I < — ^:j:j-[M(p) +£.(«)], SjC'O lend vers zéro avec — • 



P 



Pour la quantité ^„, on obtient par le même procédé une limite supérieure 

 analogue à la limite obtenue pour |a„|, et il en résulte par rapport à 

 C« = ««-h^P» 'e théorème que nous avons énoncé au commencement de 

 cette Note et dont nous ferons plus tard une application sur la théorie des 

 nombres. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur /es représentations générales des fonctions. 

 Note de M. L. Desaint, présentée par M. Emile Picard. 



Dans une précédente Communication, j'ai donné ce théorème sans dé- 

 monstration : 



Toute fonction holomorphe dans une aire convexe y est développahle en 

 somme d'exponentielles, et son corollaire s'en déduisait tout de suite : 



Toute fonction holomorphe dans une aire convexe y admet un développe- 

 ment trigonométrique. 



C'est par des intégrales et non par des séries que sont d'ailleurs donnés ces 

 développements. 



On peut aller beaucoup plus loin dans la représentation des fonctions et 

 faire usage, non seulement d'exponentielles ou de fonctions entières, mais 

 encore des fonctions presque aussi compliquées qu'on le veut à distance 

 finie 5 je me bornerai cependant au simple énoncé que voici, qu'on peut 

 élargir sans difficultés : 



Toute fonction holomorphe dans une aire convexe y est développahle en 

 somme de fonctions de la forme V([ïic), si V(w) est holomorphe dans le 

 demi-plan à gauche de l'axe des quantités imaginaires et s'annule à l'infini 

 (dans ce demi-plan) au moins aussi rapidement que 



En effet : 



Dans une aire convexe A limitée par un contour C, nous pouvons 

 écrire 



