SÉANCE DU 24 MAI 1909. 1877 



Soit ij l'ang^le de la tan^enlo au conlour C, dirigée dans le sens direct, 

 avec l'axe Oy des quantités purement imaginaires. 



La quantité 



(3 — x)e^'î 



a sa partie réelle positive, (]uel que soit j sur C et quel que soit v à l'inté- 

 rieur de C : c'est un lemine (jue nous allons démontrer en faisant voir que 



-> 

 multiplier {z — x) par e""' revient à faire tourner le vecteur xz autour de s 



d'un angle — cp ; le contour C dans celte rotation apparaîtrait ii gauche de 

 sa tangente en z devenue parallèle à l'axe Oy dans les mêmes condi- 

 tions. 



Le vecteur iT 3 dans sa nouvelle position est dirigé vers le demi-plan, à 

 droite de la tangente en z, et sa projection sur l'axe réel est évidemment 

 positive. 



Appelons a, alors, un point quelconque du demi-plan à droite de l'axe 

 des quantités imaginaires, c'est le point représentatif d'une quantité ayant 

 sa partie réelle positive. Si t désigne une variable réelle négative, (tv-) 

 décrira la demi-droite OD dans le demi-plan à gauche de l'axe des quan- 

 tités imaginaires quand t varie deo à — oo. Nous pourrons écrire 



f \{u)du— f V{x)dx = M^o. 



■ ou «^0 



Je suppose M différent de zéro ; c'est une condition réalisée d'elle-même 

 dans les cas les plus généraux de V(m). 



Pour démontrer l'égalité précédente, il suffirait d'intégrer V (u) le long 

 d'un contour formé des demi-droites OD, OX (axe des quantités réelles 

 négatives) liées par un arc de cercle de centre O et de rayon R très grand 

 et de faire croître R. en tenant compte de la condition que V(a) décroît à 

 l'infini plus vite que 



L'intégrale prise le long de l'arc de cercle tendrait vers zéro. 

 Alors 



/ V(M)f/«=lVI, 



M étant une constante quand OD varie, c'est-à-dire quand a prend toutes 

 ses valeurs en gardant sa partie réelle positive. 



