SÉANCE Ui; 24 MAI IptH). ^^79 



les 'b élanl certaines fonctions de x s'annulant avec x (x restant positif) et 

 contenant v constantes arbitraires, v étant le nombre des A avec la partie 

 réelle positive. Pour cela considérons 



qui coïncide avec (i) pour 00 = 1. Posons 



Yi= to cp'/' -H w^ 9^' + . . . {i—],'i,...,nj 



et comparons les termes de oj/" : 



( (< = I,3, ...,«), 



$^' étant rationnelle en ç',", 9',", . . ., ç^i, (t = i, 2, ...,«} et x^ une con- 

 stante égale à zéro ou ditl'érente de zéro suivant que la partie réelle a, de X, 

 est négative ou positive. Nous ne considérons que des valeurs positives de 

 X et a-, et x^'^x lorsque x^^o. En appliquant de proche en proche la 

 formule de la moyenne aux expressions de |cp^' |, nous avons, en remplaçant 

 dans (i*) les coefficients par leurs valeurs absolues et A, par la partie 

 réelle «,, 



,?p' 





en faisant a: et. X, suffisamment petits (.r,>a;), ^ étant une quantité entre 

 X et X,. Donc, en posant 



il suffit de démontrer la convergence des développements 



(2) wR>"-+-(o'Ry' + ... + oj''R^'-t-... (t = i, 3, ....«) 



pour ^ suffisamment petit. Comparant les séries (2) avec les séries 



y,= wô'/'+ ^''Sy^-- ■ ■ («■=>. 2, . ..,n) 



satisfaisant le système d'équations 



p,Y,-= 2w[Fi'"'+ Y,F'/' + . . . 4- Y„F'„'' + . . .] (/ = I, 2, . . ., «), 

 les F étant des fonctions holomorphes de ? majorantes pour les fonctions 



