l382 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



lions sont intégrables, réductibles aux équations linéaires, ou se ramènent 

 algébriquement à l'un des six types (^Comptes rendus, il\ décembre 1906) : 



y" m 2 y' + xy + a. 



J" = 



r'- 



y 



y- 



(i) 



27 



3 y' S 



— 1- [\.Ty^-h ^{x^ — a)y + i-, 



y 



X 



ar(r — 1)^ 



2 y y — I / X X'- 



{3(.y — 1)2 y y ây(y + i) 

 + 5 



X Y — I 



x^y 



2\v y — I y — X 



y{y — >)(y — 



i)( y — .r) r 



\X X I 



<^x y{x - 1) 



y — a; 



dx( X ■ 



(7-«r 



[/■ 





Cette dernière équation dépend de quatre paramètres arbitraires a, [i, y, 

 et les cinq autres en sont des dégénérescences. M. Painlevé a montré qu'ef- 

 fectivement ces six équations ont leurs points critiques fixes et qu'elles sont 

 absolument irréductibles au sens de M. Drach, sauf pour des valeurs excep- 

 tionnelles des paramètres. 



Je me suis proposé d'étudier différentes classes d'équations à points cri- 

 tiques fixes du second ordre et du second degré en y" (" ), 



(2) 



/'= \,y"- + A,y + A3 + v/A;/* + A5j'3 + Ae/-^-t- A, y' + A,, 



les A désignant des fonctions algébriques en y de genre o ou i , à coefficients 

 analytiques en x, et surtout de rechercher de nouvelles équations irréduc- 

 tibles. 



On classe ces équations au moyen de leurs simplifiées : la simplifiée de 

 l'équation (2) est l'équation 



j" = /=[A,(j, x„)+ s/K{y,-ro)], 

 qui doit avoir son intégrale générale uniforme. 



(') M. Gambier a commencé celte élude (Comptes rendus, 29 janvier 1906). 



