SÉANCE DU l''"' JUIN 1909. l4/|7 



points de ramificalion d'ordre Uni i ' ) dont l'ensemble doit cependani êlic 



un ensendîle dénomhrablc qui n'admet comme points d'accumulation, s il 



en existe, que des points limites de F. La surface F peut être définie comme 



la limite 



F =: liin F,, 



n = = 



de surfaces F,, F^, .. ., F„ ayant toutes un nombre fini de feuillets et une 

 frontière bien déterminée; chaque domaine F„ ne possède qu'un nombre 

 fini de points de ramification. 



Soit 0(x = x„) un point du domaine F, ; soit U„ la fonction potentielle 

 définie sur F„, uniforme et partout régulière sauf au point O, aux environs 

 duquel elle peut être mise sous la forme 



U„ = R( î )+((o)) (R = partie réelle). 



et dont la dérivée normale est nulle tout le lon^ de la frontière; 

 ((o)) désigne une fonction potentielle régulière et nulle en (_). Par une 

 application convenable de la méthode alternée de M. Schwarz, on peut 

 démontrer que la valeur absolue de la fonction U„ sur le contour a un maxi- 

 mum inférieur à une quantité finie indépendante de n. De là résulte, grâce 

 à un principe général (-) de convergence pour les fonctions analytiques (pii 

 s'étend immédiatement aux fonctions potentielles, qu'on peut choisir dans 

 la suite des fonctions U,, U,, ... une suite U/,^, U,,^, ... qui converge uni- 

 formément vers une limite U. Cette fonction U représente la distribution 

 électrique à l'état d'équilibre sur la surface !"', si Ton suppose en O deux 

 électrodes infiniment voisines. Au lieu de la discontinuité unique O, on 

 peut aussi se donner deux points (), et O^ quelconques avec des disconti- 

 nuités logarithmiques. L'existence d'une fonction limite se démontre pour 

 ce cas d'une façon analogue. 



On peut aussi remplacer les fonctions U„ par des fonctions U,, qui corres- 

 pondent à des surfaces F„ fermées obtenues en prolongeant les surfaces i\ 

 d'une manière arbitraire au delà de leurs frontières (^ ), et l'on définit ainsi 

 une fonction U. 



(') Les points de ramification d'ordre infini sont considérés comme points limites. 



(■') J'ai indiqué ce principe dans une Note, L'eber die Uniformisieriing beliebiger 

 analylisclier Kiinen, dritte Milteiluni; (Gôll. Nnclirichlen, 1908). — \ oir aussi ma 

 Note Sur un principe général d' uniformisalion {Comptes rendus, «.g mars 1909). 



(') Cf. mon article, Ueber conforme Abhildung... (.faliresberirlit der deiitschen 

 MathemaliUvr-Vereinigung. 1906, particulièrement page i5i). 



