l49^ ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Les surfaces ;'i courbure totale constante qu'on obtient ainsi sont des h('li- 

 coïdes. 



11. n, et Qo ^'^"' (l^s quadriques homo focales. 



Tout d'abord la congruence (G) est ( ) ; dans le faisceau ponctuel (Q,, O , i 

 il y a trois quadriques de révolution, ayant pour axes les axes des qua- 

 driques données; il en résulte que (G) est aC de trois manières différentes. 

 11 est facile d'en déduire des surfaces isothermiques. Désignons par :z,, 

 a,, «3 les cosinus directeurs de la droite G, les axes de coordonnées étant les 

 axes de (^, et (\^. La congruence (G) est 2C; le paramètre complémentaire 

 sera, en choisissant la surface de révolution qui a pour axe le premier axe 

 de coordonnée, /^x,, p étant une constante qui dépend des quadriques (^, 

 et Q,. 



11 en résulte que la droite G', dont les ])ariini<ires de direction sont 



\l I -t- /''«!, Ot..,_, «3, 



décrit une congruence C; cette congruence est 2 O, les paramètres complé- 

 mentaires étant ipa.^ et i\ d'après la théorie générale des svstèmes C, 2O, le 

 point qui a pour coordonnées 



\l\ -+■ p-y.x 



i + tpx, ' [-^-ipy.^ i-i-ipc, 



décrit sur la sphère un réseau O (jui est la représentation sphérique de sur- 

 faces isolhermiques. 



Soient maintenant Q l'une des trois quadriques de révolution, M le point 

 de contact d'un plan langent à Q mené par la droite G; le point M décrit 

 un réseau <]; on connaît de plus une congruence O harmonique à ce réseau, 

 c'est ((•); on pourra donc, à l'aide de quadratures seulement, trouver le 

 réseau applicable M'. De cette surface M' ou déduit très facilement 

 \Sar la déformation des quadriques de révolution (Comptes rendus, 1899)] 

 des surfaces à courbure totale constante. Les surfaces ainsi obtenues sont 

 bien distinctes de celles de M. Dobriner. Kn effet, d'après le mode de for- 

 mation de ces surfaces, on voit que, si l'on considère le réseau formé par les 

 lignes de courbure, on pourra poursuivie indéliuiment sur ce réseau l'appli- 

 cation de la méthode de Laplace; celles de M. Dobriner ayant les lignes de 

 courbure d'un système sphérique, on sera arrêté dans l'application de la 

 méthode de Laplace après la seconde ou la troisième opération. 



Prenons maintenant une quadrique quelconque Q' du faisceau ponctuel 



