SÉANCE DU 7 jriN 1909. 1 5oi 



seul ) et C7 correspond à la ligne (M„^. Soient en outre ( i el (j' les centres 

 (le courbure géodésique des lignes (M,.), (M„), cl <), ( )' les centres des 

 sphères osculatrices des mêmes lignes. Le plan osculateur co de (C„) touche 

 en O la surface (O) et le plan osculateur to' de (Cl') louche en O' la sur- 

 face (O ). 



Nous nous [)roposons d'étudier les surfaces telles que les [)laus co' et co 

 passent respectivement par les points O et O'. Pour ces surfaces, la droite 

 OO' engendre, en général, une congruence de normales. 



Four que le plan m' passe par O, il faut et il suffit que les courbures normale et 

 géodésique de (M,,) soient fonctions l'une de l'autre; pareilleoient, pour que le plan oj 

 passe par O', il faut et il suffit que les courbures normale et ijéodésique de (M,,) soient 

 fonctions l'une de l'autre. 



\ttaclions à la surface (M) le Irièdre M.tyc dont les arêtes M.r, M r, Vl; sont respec- 

 tivement la tangente à (M„). la tangente à (M,,) et la normale à la surface. Si l'on con- 

 serve toutes les notations de M. l>arboux {Leçons, 2= Partie) et qu'on désigne en 

 outre par tf et Ô les courbures principales, la double condition ci-dessus se traduit 

 par les relations 



r/ = - .Vo. /■ =: A/{9), p, ■=: C/V, /•, = C ■!-( 0). 



dans lesquellesy (cp) et 'li(B) sont des fonctions inconaues. En joignant à ces relations 

 les cinq formules de Codazzi, on obtiendra un système de neuf étjuations aux huit, 

 inconnues A, C, '/, />,. /'. r,, o. 5. Ce système peut être remplacé par Te suivant; 



(•) 



'i;{5)(9-5)' '' ■!j{^j)(o-~'j}' " 4>(5>(9 — 6}' 



<^ = 777-777— 77T' l'> 



'1/iO jo'„ 



f('..)(0~fj) , " .A<?)(0-<;) /(r^){O-0) 



(2) /(9) -F'i(5) -|/(o)/'(o)-'|(5)-J;'(9)](9-0) + 9^y: 



(3) 



/'(9> ^ _L_ ik - 'Vlîl 



/(o) ^9-5' 5;, 9;,- 'h(O) 



l-orsqu'on aura satisfait au sjstème des équations (2) et (3), les équations donne- 

 ront les translations et rotations du triédre et, par suite, la surface. 



Occupons-nous d'abord de l'équation (a). Deux, cas peuvent se présenter. Ou bien 

 celle équation établit une relation entre 9 et 9, ou l)ien elle est identiquement 

 vérifiée. 



Dans le premier cas. la surface est nécessairement un liélicoïde. On reconnaît en- 

 suite que tous les liélicoïdes répondent à la question. 



l^our que l'éqnalion (a) soit identiquement vérifiée, il faut et il suffit qu'on ait 



2 i 



/(9) =z ao^+ 2b'j -h c\ '1(5) =— (a -(- i)^-— 36O — c, 



