l5o2 ACADÉMIE DES SClEiSCES. 



a. b, c désignant des conslantes arbitraires. Les surfaces qui correspondent à celle 

 liypollièse seront désignées par la lettre A ('). 



Il reste à intégrer le système (3). Dans le cas où la surface n'est pas une hélicoïde, 

 on peut le remplacer par le suivant : 



?,; 5;, = ?; 9: = /( ? ) ^ ( ) ( 9 - 5 ) . 



On est conduit à ce système lorsqu'on veut habiller, au sens de Tchebychef, une 

 surface dont le f/5- est dodB : f {o)<\i {0) (9 — 9). On sait que ce problème dépend 

 d'une équation aux dérivées partielles du second, ordre. 



Dans l'élude des surfaces A , nous supposerons d'abord SS' ^t o. Occupons- 

 nous de leur représentation sphérique. Soit P l'image du point M sur une 

 sphère (S) de rayon un. Désignons par Q cl Q' les centres de courbure 

 géodésiquc des lignes (P^) et (P„). La tangenle / à la ligne (Q„) touche une 



sphère (2) concentrique à (S) et de rayon égal à 1/ - • Pareillement, la 



tangenle l' à la ligne (Q^,) touche une sphèie (!') concentrique à (S) et de 



rayon égal à \/- • Les surfaces (Q) et (Q') sont polaires réciproques par 



rapport à la sphère (S). Les tangentes / et /' sont conjuguées par rapport à 

 cette sphère ; par suite les points de contact de ces droites avec les sphères (^) 

 et ÇL') sont inverses par rapport à la sphère (S). Le diamètre de (_S) qui 

 passe par ces points est parallèle à la droite 00'. 



On voit que le problème de la détermination du réseau (P) revient au 

 suivant : Trouver une surface (Q) possédant un réseau conjugué dont les 

 tangentes touclient deux sphères concentriques (S ) et (X). 



Lorsque = 0, les sphères (i^), (iS') coïncident avec la sphère (S) et les 

 surfaces (Q), (Q) sont des surfaces niinima non-euclidiennes. 



Supposons c^o. Si l'on prend pour r^ une racine primitive de l'équa- 

 tion a;* = I , le réseau (P") se reproduira après 4 h transformations de Laplace . 



Le réseau conjugué (i/, v) tracé sur (C) se reproduit après quatre trans- 

 formations de Laplace. C'est le seul réseau conjugué, dont une des familles 

 est composée de géodésiques, qui jouisse de celle propriété. 



Les tangentes aux courbes (G„) et (G^) coupent sous des angles droils 



C) Posons = 6- — ac, q'=6^ — {a-\-\)c. Si ôô' est jz: o, les droites CG. C'G', 

 dans leur mouvement par rapport au trièdre Mxyz, enveloppent deux coniques, 

 focales l'une de l'autre. Ce sont les coniques (F) et (F') (voir notre Note du 28 sep- 

 tembre 1908) relatives à la congruence engendrée par la droite 00'. 



