SÉANCE DU 7 JUIN 1909. loo'i 



la droite 00' en N et N'. Le segment INN' est constant et égal à h : y§o'. Les 

 surfaces (N) et (N') sont normales à la droite 00'. Les centres de cour- 

 bure géodésique des lignes de courbure de (N') en N' sont le point G' 

 et un point G, situé sur CG. Les centres de courbure géodésique de (N) 

 en N sont le point G et un point G, situé sur C'G'. 



Si l'on applique au réseau (M) quatre fois la transformation de Laplace 

 dans le sens où z/ varie, on obtiendra une ligne MG'N'G, M,. Le point M, 



est sur M;, à une distance - de M: le réseau (M.) est donc orthogonal. 



Si è = o, le réseau (M) se reproduit après quatre transformations de 

 Laplace, propriété qui le caractérise. 



Plus généralement, si l'on applique au réseau ( M) 4 ^" transformations de 

 Laplace, on obtiendra une ligne brisée dont l'extrémité M/t sera située 

 sur M-, et l'on aura 



MM^. — 4 (ô'-' + o'--"- 0' -H . . . -+- 00"'-= -+- ô"'-' ). 

 0'' 



Lorsque c = o, la valeur de MM^. se réduit à — j- Lorsque c est ^ o, si 



l'on prend pour ,, une racine primitive de l'équation a;*= i, le réseau (M) 



se reproduira après ik transformations. 

 Signalons les relations 



G\'-Gm'=:^, (?¥''-G'.M'' = - ^^- 

 o 



Nous réunirons dans une même classe toutes les surfaces A pour lesquelles les con- 

 stantes a, ù. c ont les mêmes valeurs. Si l'on porte sur les normales d'une surface A 

 appartenant à la classe (a, h, c) des segments MMi égaux à /(, la surface (Mi) sera une 

 surface A appartenant à la classe («,, h^, c,) définie par les égalités 



n, = « -t- 3 b/i -+- f/i-, ^j := ^ 4- c//, c, ^ c. 



On peut atlaclierau point M, une ligure MG',N',NiG| analogue à la figure .MG'N'NG. 

 Les surfaces (Ni) et (N',) sont normales à la droite OO' ; comme elles dépendent de 

 l'arbitraire A, on obtient sans intégration toutes les surfaces normales aux droites 00'. 



Si c est ^ o, on pourra disposer de h de manière à annuler bi; alors, d'après ce 

 qu'on a vu plus haut, le réseau (M,) se reproduira après quatre transformations de 

 Laplace. 



Lorsque c est ==0, il y a deux valeurs de h pour les(iuelles a, est nul. Soient, pour 

 les surfaces (M, ), (iVL) correspondantes, xM,G', N, N,G|, MjG^N^lNoG., les figures ana- 

 logues à MG'N'NG. On aGiM, = G,N,, G,M, = 0.2^0. La division (G„Gj,0,C) est 

 harmonique; par suite, les réseaux conjugués parallèles (G,), (Gj) sont à invariants 



