SÉANCE DU 7 JUIN 1909. l5o5 



rayon R ayant pour centre le point C. L'équation 



(i) r"S = Q-^ 



représente une surface du quatrième degré (^^D); la sphère (S) est inscrite 

 dans (D). Il y a, d'après un théorème bien connu, cinq cônes du second 

 degré doublement circonscrits à (D). 



Une surface (JL^ générale est l'enveloppe des sphères ayant leur centre sur 

 (D) et coupant sous un angle constant o une sphère fixe (K) cpn est concen- 

 trique a<,-cc (S") el dont le rayon r est lié ai-ec o par la relation 



(2) /■siji'j=^H. 



Appelons, dans un tel mode de génération, surface des centres la sur- 

 face (D) et sphère directrice la sphère (K). 



Une surface C^) admet siw séries distinctes de sphères lntangent.es. Le centre 

 de la sphère directrice, relative èi un tpiclconque mode de génération, est le 

 sommet de cinq cônes homo focaux du second degré doublement circonscrits 

 aux cinq surfaces des centres relatives aux cinq autres modes de génération. 



En désignant par i Fanglc de deux sphères directrices et par o, o' les deux 

 angles constants relatifs aux modes de génération correspondants, on a 

 toujours 



cos y =; cris 'J COS ', 



L'équation générale des surfaces (Z) contient 18 constantes arbitraires. 



En effet, pour déterminer (S), il faut donner la surface (D) dont l'é- 

 quation (i) renferme 17 constantes arbitraires, et le choix de r et de o 

 n'introduit qu'une constante, en vertu de la relation ( 2 ). 



Ln même système de six surfaces des centres correspond à une série des 

 surfaces (S) parallèles ( '), car, la surface (D) étant fixe, deux solutions de 

 féquation (2) en r et o délinissent deux surfaces (^ïi) telles qu'en ajoutant 

 aux rayons des sphères bitangenles à la première une constante convenable, 

 on obtient les sphères bitangentes à la seconde. 



En faisant s = - et /• = R, on obtient une surface du vingt-quatrième 



(') I^'enveloppe des sptiùns à'uu rayon conslaiil rlonl les centres décrivent { }î) se 

 décompose en deux surfaces (i) distinctes. Cette décomposition n"a pas lieu, si la 

 suiface primitive se réduit à une cyclide générale; ici l'enveloppe est formée par une 

 surface ( i) uni«|ue. 



