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Pour simplifier, supposons que les fonctions envisagées ici sont continues, 

 quoiqu'il soit possible de se placer dans des conditions plus générales. 



Il est bien connu que, en général, l'équation (i) n'a pas de solution. Je 

 ne sais si l'on a remarqué qu'on peut donner, sous une forme simple, la 

 condition nécessaire et suffisante pour la possibilité de la résolution de l'équa- 

 tion (i); c'est ce que je me propose d'indiquer. 



2. Rappelons d'abord un résultat obtenu par M. Ehrard Schmidt dans 

 ses belles éludes sur l'équation de Fredholm {Math. Annalen, t. LXIII). 

 Soient les deux équations conjuguées 



(2) 



I <]j{x)^l( M{y,.r)o{y)dy. 



\ -7, 1 



Il existe une infinité de valeurs réelles de À (qu'on peut supposer posi- 

 tives), pour lesquelles ces équations sont satisfaites autrement que pour 

 '^{oc) = '\>{j^) = o. Soient, rangées par ordre de grandeur. 



ces valeurs de A, et les valeurs correspondantes des zi et ■]/, 



(o) (Si, Oo, ..., o,,, 



(4) 'hy 'h' •••' 'h: 



Les o et '^ forment un système orthogonal et normal, c'est-à-dire que 

 l'on a 



/ o,„{a:) o„{a:) dx ^^o (mz^tn), 1 o;„(x) dx tt: i, 



•Kl "^ <i 



et pareillement pour les '];. 



Indiquons aussi un remarquable tliéorème de M. Riesz (Gôtlingen Nach- 

 richten, 1907), qui va nous être utile. Etant donnée une suite telle que (3), 

 orthogonale et normale, appelons, à l'exemple de certains géomètres alle- 

 mands, coefficients de Fourier d'une fonction f{x) relative à celle suite les 

 expressions 



««= / f{J^)'in{-T^-)dx (« r=l, 2, ..., x). 



D'après M. Riesz, étant donnée une suite de nombres a„, la condition 

 nécessaire et suffisante pour qu'on puisse trouver une fonction f{x) ayant 



