SÉANCE DU l4 JUIN 1909. l565 



les a„ comme coeflicienls de Fourier est que la série N^ al soit conver- 

 gente. 



3. Envisageons maintenant l'équation fonctionnelle (i), et considérons 

 les constantes A„ et les fonctions 9„ et i,, correspondant, avec les équa- 

 tions (2), au novau K.(x,y). Je suppose de plus que la suite des o soit 

 ferme-e, c'est-à-dire qu'il n'\- ait pas, en dehoi-s de zéro, de fonction Â(ir) 

 satisfaisant aux relations 



I li{.r) On{x)dx^=o (n = i,2 x). 



Ceci posé, la condition nécessaire et sufftsanle pour que V équation [i) puisse 

 être résolue est que, en désignant par a„ les coefficierUs de F<uu-ier de f(jc) 

 relatifs aux o, la série 



soit convergente. 



Supposons d'abord l'équation (i) vérifiée; on aura 



a„= 1 Ax)o„(x)dj:= / K.(^-, j) 9,,( j?) F( j) f/x c(.v 



'^ii ^ et ^ (t 



et, en se servant de l'équation 



(;)) 'Kl*') = >■;,/ \^{y,n-)o„{Y)dy, 



on a de suite 



/*' 



F<' y\ '1-. ( T> f/y. 



I r" 



Si donc on appelle B„ les coefficients de Fourier de F( y) relatifs aux -l, 

 ou aura 



B„— À„(7„. 



Mais, comme la série ^BJ; est convergente, il en sera de même de la 

 série 



2^ '■' «« ; 



la condition est donc nécessaire. 



Inversement, supposons celte condition vérifiée pour la fonction f(x), 

 dont les a„ représentent les coefficients de Fourier par rapport aux o. Il 



