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existera, d'après le ihéorèine de M. Riesz, une fonction F(a;) ayant, rela- 

 tivement aux ^, les coefficients de Fourier A„a„. 

 Posons alors 



/,(.ri==/ K(.r,j)F(j),/j, 

 *- <i 



et cherchons les coefficients de Fourier dcj\(x) relatifs aux o. Ces coef- 

 ficients sont donnés par les intégrales 



/ /i{-^)'^n{-i-)dJ!:. 



Or on trouve de suite 



,1' ^i> 



en utilisant Téquation (5). 



Donc les coefficients de Fourier de f^ix) par rapport aux çi sont les 

 mêmes que ceux de la fonction donnée J\x). Par suite /,{x) =:f(x) (le 

 système des o étant supposé fermé), et l'on a enfin 



JVr)= f K{x,r)F{y)dy, 



ce qui démontre bien que la condition est suffisante. Le lliéf)rème est donc 

 établi. 



4. Certains problèmes de Physique mathématique conduisent à des déve- 

 loppements satisfaisant à la condition précédente, dans des circonstances un 

 peu dillérentes seulement en apparence. 



Prenons, par exemple, le problème du mur de Fourier, en supposant 

 variable la chaleur spécifique, qui conduit à l'équation différentielle 



(6) ^'-t-"AA(.^0/==o [A(.r)>o]. 



(_)n doit chercher l'intégrale de cette équation, satisfaisant aux conditions 



\ ^"^^■^ ~° (pûur.r=:rt). 



(7) ^^ , 



I — — -t- H r = o {\iQ)w\- x—.b), 



ce qui amène à étudier la suite 



