SÉANCE DU 1.4 JUIN 1909. 1067 



des valeurs positives de X pour lesquelles l'intégrale n'est pas identiquement 

 nulle, et les fonctions correspondantes 



formant un système orthogonal et normal [il faut seulement dans les inté- 

 grales exprimant l'orthogonali té introduire A (.r)], tjui est d'ailleurs complet. 

 Si/(x) désigne une fonction continue ainsi que ses dérivées des deux 

 premiers ordres, et satisfaisant aux relations (y), le coefficient a„ de Fou- 

 rier (généralisé) est ici 



et l'on peut établir sans peine que la série du type envisagé plus Imui 



(8) ^'J.ril 



est convergente. 



Le problème de Varmille sans communication calorifique avec l'extérieur 

 conduit à une remarque analogue. Dans ce cas A(j7) a la période /> — «, et 

 les valeurs singulières de A sont celles pour lesquelles l'équation (6) a une 

 solution périodique de période h — a non identiquement nulle. Ici encore, 

 le système des ï- est complet, et, «„ ayant la même signification que ci-dessus 

 pour une fonction continue J\x) de période b — a possédant des dérivées 

 des deux premiers ordres, la série (8) est encore convergente. 



5. Citons un exemple d'une autre nature où le noyau K(a;, v) de l'équa- 

 tion (i ) devient infini, mais d'une manière qui ne modifie en rien nos raison- 

 nements des paragraphes 1, 2 et 3. Nous nous posons la question suivante, 

 souvent traitée à d'auti'es points de vue : peut-on, dans le plan, mettre la 

 solution du problème de Dirichlet relative à l'équation de Laplace sous la 

 forme d'un potentiel logarithmicjue de simple couche? 



Soit donc un contour C sur lequel est donnée une succession continue de 

 valeurs /(.v), en appelant s la longueur de l'arc. Désignons par r la distance 

 de deux points du contour correspondant à 5 et à a-; la réponse à la question 

 posée sera affirmative si l'on peut résoudre l'équation intégrale de première 

 espèce 



/•' 



(9) /(.■^)= ?('^)'og-f/7 {/=longueLir de C), 



l'inconnue étant la fonction p(<3-). 



Le noyau log- est ici une fonction syinélrique de s et de 7. A cause de 



