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Algél3riqiienienl, on obtient les polynômes T(^) et P par la méthode 

 dés coefificients indéterminés, et c'est ainsi que j'ai pu indiquer les racines 

 numériques de T(a7) = o pour les troisième, quatrième et cinquième degrés, 

 en vue des applications à la représentation des fonctions expérimentales. 



Mais il convient de remarquer en outre que les polynômes T(x) 

 peiivent également servir à la recherche de certaines intégrales pseudo- 

 elliptiques ou hyperelliptiques, et c'est ce qui fait l'objet de la présente 

 Note. 



On peut d'ai)ord donner à l'équation ( i) la forme plus générale 



{3 bis) V^-T2(.r)^llip]:^„^,_, 



leprésenlanl le cas où l'on eût recherché pour la courbe y = l\a) un con- 

 tact d'ordre p avec l'axe des x. C'est, au point de vue des applications, le 

 cas où l'on veut donner à l'observation faite pour a- := o un poids triple, 

 quadruple, etc. de celui aflfeclé aux observations faites pour l«s autres 

 valeurs de x racines de T(a^) = o. 



Mettant maintenant l'équation Ç^his) sous la forme diflerentiellc, nous 

 écrirons les deux relations 



dT(.r) jr/'d.r 



dl = ^=r^=^ et dl 



L'intégrale I définie par la deuxième relation est d'ordinaire elliptique ou 

 hvperclliplique, mais la première expression montre qu'il existe des valeurs 

 des polynômes P | obtenues algébriquement à l'aide de ( 3 l)is)\ et pour les- 



quelles l'intégrale I devient la fonction circulaire arc sin — j — > c'est-à-dire 



qu'il existe alors un multiplicateur ©(a?) tel qu'on peut écrire 



a-/'o(.7-) __ T'i-r) 



A chaque multiplicateur ç(.î) correspond un polynôme T(;r)etpar suite 

 un polynôme F(x) et un seul donnant une intégrale circulaire au lieu d'une 

 intégrale elliptique ou hyperelliptique lorsque le numérateur est de la 

 forme x''. 



Les conditions expérimentales qui nous ont fait aborder cette étude entraî- 

 naient la mise du radical sous la forme yL- — T-(x), mais pour les calculs 

 algébriques il est plus aisé de prendre la forme \T'''(x) — L- que nous em- 

 ploierons désormais. 



