SÉANCE DU l/| JUIN 1909. l583 



se ramènent à l'équation 



(0 7 — - 



y ■)■ — I Y — ^/ \J-' -i' — I / 



.r 



, v( y — i) {y — .r) 



3 jr y{.r — I ) o.r (:r — i ) 



~ (,.)■ — I)- "^ (r — j:-y- 



OU à des dégénérescences de celle-là. 



La méthode de M. Painlevé se décompose en réalité en deux méthodes 

 distinctes : la première met en évidence un certain ensemble de conditions 

 nécessaires pour que les points critiques soient fixes, et s'étend d'elle-même 

 aux équations d'ordre quelconque; la seconde, toute différente, a pour 

 objet de montrer que dans le cas du second ordre ces conditions sont suffi- 

 santes, et son extension est plus difficile. 



Parmi les équations du troisième ordre, la première méthode conduit 

 à l'équation 



^„,^V ( Y'-a'){Y"-a") ^ V Mr'~a'y-^li{y'-a'r-+G{y'-a) 



-h Dj"+ Ej' + F -H Gy + H.)^ 



Les fonctions a sont au nombre de six : les fonctions a, A, B, C, D, E, F, 

 G, H satisfont à un système d'équations algébriques et différentielles qu'on 

 peut obtenir en exprimant, d'une part, que la valeur y = ac n'est pas un pôle 

 du coefficient différentiel; d'autre part, que les intégrales de l'équation qui 

 prennent pour une valeur arbitraire x^ les valeurs a, admettent au voisinage 

 les développements 



)■ := « H- a ( .*> — .1-0 ) H- ^ ( .r — JTo y- H- y (.1; — j;-o )' + ■ • • , 



les coefficients a et y étant arbitraires. Ce système est assez compliqué. Par 

 exemple, la détermination des A en fonction des a, au moyen d'équations 

 algébriques, revient à la détermination d'un faisceau de formes binaires 

 biquadratiques par sa jacobienne, problème qui dépend de la résolution 

 d'une équation du cinquième degré. Si, par une transformation homogra- 

 phique effectuée sur y et un changement de variable, on prend pour quatre 

 des fonctions a trois constantes numériques et x, l'intéj^rale générale con- 

 tient six constantes arbitraires. L'équation (2), obtenue en prenant pour les 

 coefficients l'intégrale générale du système, et qui dépend ainsi de six para- 

 métres arbitraires, a-t-elle ses points critiques fixes ? 



Si l'on suppose que les six fonctions a se confondent deux à deux, l'équa- 



