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lion (2) dégénère en une équation dont les coefficients dépendent de trois 

 paramètres arbitraires, mais qni se ramène précisément à l'équation (i). Si 

 donc l'équation (2) a ses points critiques fixes, elle n'est pas réductible aux 

 équations à points critiques fixes connues, et il n'y a que deux alternatives : 

 ou bien elle se ramène au second ordre, ou bien elle est irréductible du troi- 

 sième ordre. 



Parmi les équations du quatrième ordre, la méthode de M. Painlevé 

 (conditions nécessaires) met de même en évidence l'équation 



v" := 3o_yj" — 6o_i-' -+- «y -1- [3, 



a et ^ désignant des paramètres arbitraires. Les intégrales de cette équa- 

 tion n'ont pas de points critiques algébriques, mais elles admettent deux 

 familles de pùles doubles mobiles dépendant de deux et trois constantes 

 arbitraires. Les mêmes questions se posent : L'intégrale générale est-elle 

 uniforme? Est-elle une fonction nouvelle? L'équation se ramène au troi- 

 sième ordre en prenant y comme variable : pour a = |iJ =; o, elle se ramène 

 même au second. Mais l'équation difl'érentielle classique que vérifient les 

 fonctions fuchsiennes et kleinéennes est réductible à une équation de Ric- 

 cati, en permutant les rôles de la fonction et de la variable, et cela ne 

 diminue pas l'intérêt de ces fonctions. 



Signalons une analogie remarquable. Posons 



Il satisfait à l'équation 



(3) i/it"— 6n' II' -h i5ti"ti"— loii'"-— (xiiii/"— II'-) — ^11-. 



Le premier membre est un invariant de la forme binaire en 



(4) //"-+- 6Atû~^ iM^i/'"-^ 2o/,'h"'-i- i5à*«"+ tJ7»M'4- "a'^(/. 



C'est donc un fait à ajouter à ceux que M. Borel signalait dans une Note 

 des Comptes rendus (8 février 1904). M. Borel citait uu certain nombre 

 d'équations dont l'intégrale générale est une fonction entière, et observait 

 qu'en séparant les termes dont le poids est le plus élevé, on obtient des 

 invariants usuels de formes binaires telles que (4). A ce point de vue, 

 l'équation (3), pour a = ["i = o, est le troisième terme d'une suite d'équa- 

 tions dont les deux premiers termes sont 



m/''"' — 411' u'' -h 3 11"^^=: o. 



