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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une question de minimum. Note 

 de M. S. Sanielevici, présentée par M. Emile Picard. 



Posons 



A{x) étant une fonction continue et positive dans l'intervalle ab, et j une 

 fonction continue ainsi que ses trois premières dérivées dans le même inter- 

 valle. Il s'agit de chercher la fonction qui rend minima l'intégrale définie Jj 

 tout en satisfaisant aux conditions 



(E) J,= i ' dv pour a- = a el pour a' = b. 



La règle bien connue d'Euler conduit à l'équation 



dont il faut trouver une intégrale vérifiant les conditions (E). 



MM. Davidoglou {Annales de l'École Normale, 1905 ) et Al. Myller (Gôttingen, 

 1906), dans leurs Thèses, ont traité ce problème, le premier par la méthode si féconde 

 des approximations successives de M. Picard, et le dernier par la théorie des équations 

 intégrales; ils ont démontré l'existence d'une infinité de valeurs singulières positives 

 du paramètre 1, auxquelles correspondent des intégrales satisfaisant aux conditions ( E). 



Soient Xi la plus petite de ces valeurs, j>', l'intégrale correspondante. Celte fonction 

 réalise-t-elle le minimum de J^? L'analogie de ce qui se passe pour l'équation du second 

 ordre (voir E. Pioaru, Analyse, t. 111, p. iii) nous porterait à répondre par l'affirma- 

 tive. Or, la question est ici de beaucoup plus délicate. 



En effet l'intégration de (i) moyennant les conditions 



( 



y =r G ( >■ = o 



(F) . dv pour œ=a et { d- y po'"' *' = t {(i<t<l>) 



f ax dx^ 



conduit encore, comme l'a montré M. Myller, à une infinité de valeurs sin- 

 gulières positives de A. Soit (x, la plus petite de ces valeurs et supposons, ce 

 qui peut arriver, p., <X,. Soit s, l'intégrale vérifiant les conditions (F) et 



