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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les séries de Dirichlet. 

 Note de M. Marcel Riesz, présentée par M. Emile Picard. 



1° Nous allons montrer, dans les lignes suivantes, comme il est utile 

 d'appliquer certaines méthodes de sommation aux séries de Dirichlet. 

 D'abord nous énoncerons les théorèmes suivants : 



I. La série de Dirichlet f [s) = ' rt„«^*' élaiil sonimable par les moyennes arilh- 



métiques d'ordre A (A' = i, 2, 3, . . .) en un point s^ est uniformément somniable par 

 les moyennes d'ordre /. — \ sur toute portion finie de la droite l\(s) z=:R{s„) -h 1 , 

 R(.ç) désignant la partie réelle de s. Il en résulte que la soniniabililé est uniforme 

 dans toute bande définie par les inégalités 



R(5)>R(.v„) + i, \t\<T, 



t désignant la partie imaginaire de s ^^ a + it etT désignant un nombre positif quel- 

 conque (' ). 



L'inlérèt des résiillats de ce genre est bien mis en évidence par le théorème qui suit 

 et qui se démontre aisément : 



II. La série f{s) :=/ a^n"^ étant sommablc d'ordre A (An=o, 1,5, ...) en un 

 point s„ et s désignant un nombre positif quelconque, on a, dans le domaine 



ï{{s):^R(s,)+s, 



l'égalité 



Il m r~-, — : 



l«l = ' 



et cela uniformément a^-ec \s\. 



Si l'on introduit les moyennes aritliraétiques d'ordre non entier, on peut démontrer 

 de même qu'en agrandissant l'abscisse de s d'une quantité positive, l'ordre de somma- 

 tion pourra être abaissé de la même quantité. L'existence d'une droite de soniniabi- 

 lilé ainsi qu'une formule correspondant à celle de M. Cahen pour l'abscisse de con- 

 vergence s'établissent d'une manière très simple. La formule explicite se trouve (pour 

 A" entier) dans la Note citée de M. Bolir. 



La généralisation du théorème 11, pour A non entier, me parait 1res probable, mais 

 je n'ai pas encore surmonté toutes les difficultés de la démonstration. 



(') Dans ce théorème que je possède depuis environ une année je me suis rencontré 

 avec M. Bohr qui a publié ses résultats dans une Note très intéressante insérée dans 

 ces Con-ples rendus, le 11 janvier 1909. Il conclut, de la sommabilité d'ordre A pour 

 des valeurs telles que R(.ç) > ffo, la sommabilité d'ordre k — 1 pour des valeurs telles 

 que R(.sj >- g-o-h 1. Notre énoncé comprend celui de M. Bohr. 



