SÉANCE DU 21 JUIN I909. 1639 



2" Dans un autre ordre d'idées j'ai démontré les théorèmes suivants : 



III. Lorsque la fonction définie clans une portion du plan par la série con- 

 \'ergente f(^s) =^ Za„n~' est régulière (' ) aux points du demi-plan 



el y satisfait à la condition 



I ,v 1 = « 1 -s I 



uniformément cwec \s\, la série I,a„n~' est sommahle par les moyennes aritli- 

 mrtiijucs d'ordre k' (/' désignant un nombre quelconque > k) en tout point de 

 la droite R( .y) =^c et du demi-plan K(\s )'^ c. La sommahilité est uniforme en 

 toute bande du domaine ^{s)'Lc qui est parallèle à l'axe réel. 



\\ . La droite R (*) = c contenant des pôles ou des points critiques algé- 

 briques et, parmi ceux-ci, certains d'un ordre d'infnitude ^i, aussi que la 

 condition ( i) étant remplie pour un certain nombre /-, la série n'est sommable 

 par aucune moyenne arithmétique en aucun point de la droite. 



La démonstration de ces deux théorèmes se fonde sur une application 

 convenable de la formule de Caiien établie en toute rigueur par MM. llada- 

 mard et Perron (par le dernier même pour des séries qui ne possèdent pas 

 de domaine de convei'gence absolue). 



On voit du théorème IV qu'en jiarticulier la série de Diricidet qui repré- 

 sente la fonction Z {s) n'est pas sommable (-') par aucune moyenne aritlimé- 



(') Le ihéoiùme subsiste pour les points réguliers de la droite U(.«) = c si l'on 

 admet sur elle dos points singuliers (en nombre fini) au voisinage des(|uels |/(a)| est 

 inlégralile. En etf'et, tout revient à la question si l'intégrale 



j /{c -i- ti) &'■" dt 



tend ou non vers zéro avec — (f + T,/ et c + Tw' étant deux points qui entourent le 



point singulier). On voit de cette remarque (]ue même des singularités de la forme 



peuvent être admises. Il en résulte de plus que, dans le théorème 1\ qui suit, 



zlogz 



on peut donner des singularités d'une nature beaucoup plus généiale que celles que 

 j'v caractérise, détruisant la soniniabilité de la même manière que celles-ci. Je me 

 réserve de revenir sur ces questions dans un travail plus détaillé. 



(-) Je viens de constater (jue ceci résulte aussi, d'une manière très simple, d'une 

 formule due à M. Kinkelin. 



C. R., 1909, 1" Semestre. (T. CXLVIll, N° 25.) ^l4 



