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tique en aucun point de la droite R (*) = i. Avant que j'eusse trouvé mon 

 théorème IV, M. Féjer me communiqua que, dans ce cas particulier 

 intéressant, ses calculs sur la valeur asymptotique de certaines suites 

 lui avaient indiqué le résultat négatif ci-dessus. Notre théorème nous 

 montre que de même les séries qui représentent les fonctions [Z (.«)]^ à un 

 exposant > i ne sont sommables par aucune moyenne arithmétique sur la 

 droite R(i) = i. 



Par contre, les séries de Dirichlet qui représentent les fonctions [Z (^)]'', 

 X désignant un nombre réel <C i , sont cnn^'ergentes sur toute la droite R (s') = i 

 (sauf le point s = i pour A > o). 



Ce théorème se démontre par le théorème plus généra! qui suit : 



Snpposon.ii (/i/il existe pour la fonction f{s) représenlce dans une certaine por- 

 tion (lu plan par la scrie coni.'ergenle ia„/(" an nombre /. lel que 



\f{s)\<c\s\'' 

 pour 



R(5)>i, 



etdes\s\ assez s^rands. Pilous supposons, en outre, que la fonction est régulière 

 dans ce domaine, sauf tout au plus en des points isolés de la droite R(i) = i, dans 

 le voisinage desquels [/(?)] est intégrahle et, de plus, qu'on a 



lim — r= o. 



Dans ces conditions la série converge en loul point régulier (') de la droite 



R(5)=,. 



l'ar une petite généralisation d'un théorème de M. Landau (^), nous voyons 1res 

 nettement que les fonctions [Z(.«)]' (À < i) sont de l'espèce ci-dessus. 



Dans une Note prochaine nous introduirons une méthode générale nou- 

 velle applicable à des séries de la forme générale ^rt„e"^"* qui se prête 



heureusement à sommer les séries de 7j(s) et de ses puissances et qui four- 

 nira des résultats utiles sur le produit de deux séries de Dirichlet. 



(' ) La convergence subsiste pour une grande classe des points singuliers. 

 C) E. Landau, Beitrdge zur analylisclien Zalilentlieorie (/iendiconli del Circolo 

 mal. di Palernio, t. XXVI, p. 228). 



