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pu dénionlrer entre cette fonction et la suite délinie précédennnent les pro- 

 priétés suivantes ( ' ) : 



u. La fonction J a un mcnimti/n obtenu pour /es valeurs entières X,, \ , cl 



les deux nombres 



2c = (7X| H- />> ,, 5?'— «'X,-;- 6'Y, 



forment une ligne d'un Tableau réduit è(/ia\((/enl au Tableau T /les quatre 

 nombres a, b, a', b' . 



b. Si l'on fait décrott/'e l de façon continue, les minima successifs obtenus 

 correspondent aux lignes successives de la suite des Tableaux réduits équivalents 

 à T. Toutefois, il peut se faire que pour des valeurs finies de to certaines 

 lignes isolées de la suite ne correspondent pas à un minimum. Ceci ne peut 

 se produire pour une ligne |3, ^' que si, 



y. y. 



y y 



étant les deux Tableaux cjui la contiennent, î et — ^ ont tous deux i comme 



])artie entière. Cette condition nécessaire n'est d'ailleurs pas suffisante. 

 c. Le minimum de la fonction f est inférieur à 



\ 



a a 

 b !>' 



et ne peut lui être égal que pour to = i ou w = gc. 



4. Pour la valeur particulière co = 2, la fonction /est la racine carrée 

 d'une forme quadratique binaire délinie. La suite de ses minimums coïncide 

 avec la suite des réduites principales dans la méthode de réduction conti- 

 nuelle d'Hermite (loc. cit.). 



Pour w ^ ce, la suite des minimums est confondue complètement avec la 

 suite des lignes et coïncide avec ce que Miukovvski appelle la suite des paral- 

 lélogrammes extrêmes. 



5. Enfin, la suite des lignes possède encore les proj^riétés suivantes : 



Si X,, Y, sont des valeurs entières premières entre elles vérifiant l'inégalité 



f/\, + èY,|x |«'\,^-//^, 



a a 

 b b' 



(') Cf. IIer.iute, Œuvres, t. 1. p. 101. — 'S,U\\^t<\\>\^\.<icornetrie (ter Za/i/e/i,p. 1 47 

 Dioplicintische Approximationen, Ch. II. 



