I75o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



En dehors de ces deux cas, la méthode est mappUcahle. 



2. Je vais étendre la méthode à tous les cas possibles en montrant qu on 



peut toujours écrire 



X =r F(.r), 



¥{x) étant assujetti à cette condition que, dans le voisinage de la racine a 

 de l'équation 



X — l''(x) =r o, 

 on ait 



— i<F'(a-)<o. 



Je m'appuierai sur cette remarque qu'ow peut toujours écrire une équation, 

 transcendante ou algébrique, 



sous des formes 



x:=f(x). j; = o(x), 



où/(x), cp(a;) ne soient pas identiques. 

 Par exemple, l'équation 



o^a -\- bx -+- ex- -H dx^ -{-... 

 peut s'écrire 



d-h cx^-hdx^-h. . . ., , rt 4- 6.r + f/^-'-f-. . . 

 ■r— — -^ —f{x), X— --^ =?(J-)- 



3. Cela posé, l'équation 



, A-y) + ^?(-'-) 



X — î 



1 -^ CT 



OÙ 



X — fx-^Ts'yX — !p(x)]=:0, 



admet la racine a, comme les deux équations (identiques) 



■^— /('■'■) =o, x — o(x) = o, [x — /(.r)=:«I>(\z-), .r — o(x) = ${j;-)]. 



Il suffit donc de montrer qu'on peut toujours disposer de l'arbitraire m de 

 manière que 



_rl_ /(j)+CTcp(j-) r /'{.>■) + -m o'{x) '\ 

 <lx I -H cj y I -H ro J 



soit compris entre — \ et o dans un certain intervalle comprenant lui-même la 

 racine a. 



Cela est facile, mais plusieurs cas sont à distinguer. 



