SÉANCE DU 3 JANVIER 1910. 23 



En second lieu, rinlroduction d'un trièdre de référence mobile T consti- 

 tué par l'axe Os du mouvement hélicoïdal, la normale Or au point central O 

 commun aux deux surfaces réglées (*I>), (<ï>' ) qui luirent Tune sur l'autre et 

 l'axe Ox normal à Oy et à 0=, suggère de traiter le problème des courbes 

 douées d'enveloppe en considérant un point M mobile par rapport au 

 trièdre T et tel que ses lieux dans les corps S et S' soient les deux courbes 

 conjuguées (e), (e). Le lieu de ce point par rapport au trièdre T est une 

 courbe (e) que, par extension d'une locution usitée dans la pratique des 

 engrenages, j'appelle la courbe d'engrénement. Je montre que la détermi- 

 nation des courbes d'engrénement n'exige que des quadratures. 



Dans certains cas même, comme dans celui qui est réalisé par l'engrenage 

 de Bélanger, ces quadratures elles-mêmes disparaissent. 



Les équations différentielles des courbes d'engrénement contiennent une 

 fonction arbitraire a. Je fais voir que, si l'on prend tous les points mobiles M 

 qui correspondent à une même détermination de a, ces points constituent 

 un solide S,j. dont tous les points décrivent dans S et S' des couples de 

 courbes conjuguées (e), («'). Il y a même plus. De même qu'il y a des 

 courbes douées d'enveloppe, il y a aussi des développable^^ qui ont pour 

 profils conjugués des développables ^' qu'elles touchent à chaque instant 

 suivant une génératrice. Ces couples de développables conjuguées s'en- 

 gendrent de même en déplaçant dans S et dans S' un plan II solidaire d'un 

 des corps auxiliaires désignés par S^. 



On conçoit qu'il me soit difficile, dans les limites qui me sont imposées, 

 de rendre compte de la multiplicité des relations que font naître les notions 

 précédentes. J'insisterai ici sur les plus importantes. 



Dans mes Notes antérieures, j'ai défini dans le corps S le cône des 

 vitesses Fp, lieu des droites qui portent, au cours du mouvement, les 

 vitesses d'un point P de ce corps. Il y a lieu d'introduire aussi la courbe (C„) 

 située dans un plan II et qui est l'enveloppe des caractéristiques d'entraî- 

 nement de ce plan. Ce cône et cette courbe sont ceux qu'on rencontrerait 

 dans les définitions des surfaces intégrales I tangentes en tous leurs points 

 au cône des vitesses : le cône intervenant pour définir ces surfaces par une 

 propriété de leurs plans tangents et, suivant une notion introduite par 

 M. Darboux dans son Mémoire Sur les soliuions singulières, la courbe inter- 

 venant pour définir les surfaces par une propriété de leur point de contact. 

 Les courbes (e) douées d'enveloppe sont les courbes intégi^ales ; les déve- 

 loppables douées d'enveloppe sont les développables intégrales. 



