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6 étant définie par l'égalité 



L'élément linéaire de la surface ( M, ) est donné par la relation 



(4) 



du / \ ô\' 



En éliminant successivement tx' et P' entre les équations (3), on trouve 

 <J-{3' d\o^q (1^' ô\ogpi d^' à- a.' dIogA, âx' t^log-C, d(x' 



Ou ûf Ou Oh Ou Of Ou Oi' Oi' Ou ' Ou Ov 



Ces formules sont susceptibles de diverses applications. Elles se prêtent 

 notamment à l'étude de la transformation des surfaces isothermiques due 

 à M. Darboux. Elles vont nous permettre d'établir et de compléter le théo- 

 rème suivant que M. Blanchi a obtenu en appliquant la transformation de 

 Lie à un théorème relatif aux congruences W : 



Si (M,) el (Mo) sont deux surfaces déduites d'une surface (M„) par l'ap- 

 plication de transformations de Ribaucour, il existe une infinité simple de sur- 

 faces [M. j) gui correspondent à (M, ) et à (M^) dans des transformations de 

 Ribaucour. 



D'après les développements qui précèdent, il suffira de démontrer que 

 l'on peut choisir la surface (M.,) de manière que cette surface corresponde 

 à (Ma) dans une transformation de Ribaucour. Nous assujettirons le 

 couple (a', p), qui définit (Mj), à satisfaire aux égalités 



(5) -â:-^' c7=-cr' P-P- 



Cela est toujours possible; en effet, la première équation (2) et la pre- 

 mière équation (4) étant identiques, on peut poser ^' = [3; ensuite, la com- 

 paraison des systèmes (i) et (3) fournit les deux premières équations (5). 

 Les équations (5) peuvent s'écrire .r\^x,, x'^^^x.,, x'^^x^; par suite, 

 les points M„, M,, M.,, M, sont concycliques. Or, on démontre aisément le 

 théorème suivant : 



Deux sphères ( U , ) e< ( U^ ) touc/iant une troisième sp/ière ( l ., ) en A , et A.,, 



